Некоторые сведения векторной алгебры

В физике все величины подразделяются на два вида: скалярные и векторные.

Если любое значение физической величины можно выразить одним действительным числом, то величина называется скаляром. Например: время t, масса m, температура Т, электрический заряд q, давление p.

Если значение некоторой величины должно определяться не только числом, но и направлением, то такая величина называется вектором являются скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля, магнитная индукция, напряженность магнитного поля и др.Вектор – это математическая величина, характеризующаяся длиной и направлением. Векторы изображаются отрезками со стрелкой на конце и обозначаются буквами со стрелкой наверху.

Он определяется своей величиной (модулем) и направлением. Направление задается единичным вектором, причем.

• Умножение вектора на действительное число

Умножение вектора на действительное число k дает вектор. При этом направление сохраняется с точностью до знака.Модуль умножается на модуль k.

Направление вектора: +, если и, если.

При значении вектора; его модуль

•

величина

направление

Рис. П1. Вектор, модуль,

единичный вектор

величина

направление

Рис. П1. Вектор, модуль,

единичный вектор

Рис. П1. Сложение векторов и

Рис. П1. Сложение векторов и

• Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение двух векторов и определяется как скаляр

,

где - угол между двумя векторами.

Рис. П3. Скалярное произведение

двух векторов и.

Рис. П3. Скалярное произведение

двух векторов и.

Два вектора и:

• перпендикулярны (ортогональны), если, при этом

• параллельны, если, при этом

• антипараллельны, если, при этом.

• Векторное произведение двух векторов

Если из двух векторов и в трехмерном действительном пространстве образовать произведение, то оно представляет собой вектор:

• равный площади определяемого векторами и параллелограмма, где – угол между векторами и;

• перпендикулярный к и;

• совпадающий с направлением движения правого винта, если его вращать по кратчайшему пути от первого вектора ко второму.

Рис. П5. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

Рис. П5. Нахождение направления векторного произведения с помощью правила правой руки.

Рис. П4. Векторное произведение

двух векторов и.

Рис. П4. Векторное произведение

двух векторов и.

При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свое направление на противоположное

.

У параллельных векторов векторное произведение равно нулю, а у перпендикулярных – скалярное.