Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины. Учебная программа * Теория чисел * 2011-2012

Учебная программа * Теория чисел * 2011-2012

Распределение часов по темам

Содержание

№ п/п	Тема	Краткое содержание темы
	Делимость в кольце целых чисел.	Делимость целых чисел. Отношение делимости. Деление с остатком. НОД и НОК и их свойства.
	Простые числа.	Простые и составные числа. Взаимно простые числа. Решето Эратосфена. Теорема Дирихле.
	Теоретико-числовые функции.	Теоретико-числовые функции: . Функции [x] и {x}. Непрерывные дроби.
	Теория сравнений. Вычеты.	Теория сравнений. Вычеты. Сравнения и системы сравнений первой степени. Теоремы Эйлера и Ферма. Диофантовы уравнения.
	Трансцендентность чисел.	Алгебраические и трансцендентные числа. Трансцендентность чисел .

Самостоятельная работа студентов:

В качестве обязательной самостоятельной подготовки студентов по данному курсу предполагается:

• проработка тем, излагаемых на лекциях,
• решение задач, предлагаемых в качестве домашнего задания на лекциях и практических занятиях,
• чтение рекомендуемой литературы,
• работа с контрольными вопросами.

Семестровые контрольные мероприятия:

• Самостоятельная работа №1 – темы 1, 2.
• Самостоятельная работа №2 – тема 3, 4.
• Самостоятельная работа №3 – темы 4, 5.

Форма проведения и содержание итоговых контрольных мероприятий:

Зачет в письменной форме.

Результирующая оценка рассчитывается по накопительной системе за работу в течение всего курса:

· активная работа на занятиях;

· выполнение домашних работ;

· выполнение контрольных работ;

· выполнение теста;

· зачет.

Примерные задания для самостоятельных и контрольных работ:

Для подготовки к самостоятельным, контрольным работам и зачету необходимо ориентироваться на задания, которые рассматриваются на занятиях и предлагаются в качестве домашнего задания.

Перечень вопросов к зачёту:

1. Отношение делимости в кольце целых чисел.

2. Простейшие свойства отношения делимости.

3. Теорема о делении с остатком и её приложения.

4. Простые, составные числа и делители единицы, свойства простых чисел.

5. Разложение целых чисел на простые множители.

6. Наибольший общий делитель (НОД).

7. Алгоритм Евклида, его применение для представления НОД.

8. Взаимно простые числа.

9. Наименьшее общее кратное (НОК).

10. Бесконечность множества натуральных простых чисел.

11. Простые числа в арифметических последовательностях.

12. Теоретико-числовые функции.

13. Разложение рационального числа в цепную дробь, вычисление подходящих дробей.

14. Свойства подходящих дробей.

15. Теория сравнений. Сравнения по натуральному модулю и их свойства.

16. Полная система вычетов, взаимно простых с модулем.

17. Кольцо классов вычетов по простому модулю.

18. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем.

19. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

20. Сравнения и системы сравнений целой переменной.

21. Равносильные сравнения степени n с одной переменной.

22. Исследование сравнений первой степени.

23. Вычисление решения сравнения первой степени с помощью теоремы Эйлера, с помощью тождественных преобразований, с помощью разложения в цепную дробь.

24. Сравнения по степени простого числа.

25. Редукция сравнения по составному модулю к сравнению по степени простого числа и к сравнению по простому модулю.

26. Показатели и индексы. Показатели чисел и классов вычетов по данному модулю, число классов с заданным показателем.

27. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю.

28. Индексы чисел и классов по данному модулю.

29. Двучленные сравнения по простому модулю.

30. Квадратичные вычеты и невычеты.

31. Символ Лежандра.

32. Арифметические приложения теории сравнений. Признаки делимости.

33. Цепные дроби. Существование и единственность разложения действительного числа в цепную дробь.

34. Теорема Лежандра о квадратичной иррациональности.

35. Приближение действительных чисел подходящими дробями.

36. Диофантовы уравнения. Решение диофантовых уравнений.

37. Теорема Дирихле и её применение к представлению простого числа в виде р ≡ 1(mod 4) суммы двух квадратов.

38. Алгебраические и трансцендентные числа. Теорема Лиувилля и ее применение к доказательству иррациональности.

39. Иррациональность числа π.

40. Иррациональность числа e.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

Основная литература:

1. Виноградов И.В. Основы теории чисел. М: Наука, 1972
2. Михелович Ш.Х. Теория чисел. - М.: Высшая школа, 1967
3. Смолин. Алгебра и теория чисел. М.: Наука, 2006.
4. Шнеперман Л.Б.. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Лань. 2008.

Дополнительная литература:

1. Александров В.А., Горшенин С.М. Задачник-практикум по теории чисел. М.: Просвещение, 1972.

2. Алгебра и теория чисел, ч.3, под ред. Н.Я. Виленкина (пособие для 030). М.: Просвещение, 1984

3. Бухштаб А.А.Теория чисел. М.: Просвещение, 1966

4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1974.

5. Воробьев Н.Н. Признаки делимости. М.: Наука, 1988.

6. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. М.: Просвещение, 1992.

7. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. М.: Просвещение, 1964.

8. Кочева А.А. Задачник-практикум по алгебра и теории чисел, ч.З (пособие для 030). М.: Просвещение, 1984.

9. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. М: Просвещение, 1970.

10. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа. 1979.

11. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. М.: Просвещение. 1993.

12. Михелович Ш. X. Теория чисел. М.: Высшая школа. 1967.

13. Серпинский В. 250 задач по элементарной теории чисел. М.: Просвещение, 1968.

14. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре: уч. пособие. СПб.: Лань, 2005.

15. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука. 1977.

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

1. электронная библиотека кафедры

2. http://virlib.eunnet.net/books/numbers

3. http://www.ega-math.narod.ru/Books/Daven1.htm

4. http://www.math.ru/lib/cat/numbers

5. http://www.dmoz.org/World/Russian/Наука/Математика/Теория_чисел

6. http://www.exponenta.ru

7. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics