Приклад 3

Нехай задано трикутник ABC з координатами (2;2), (4;2), (4;4). Знайти координати нового трикутника, повернутого на 90^о відносно початку координат та відображеного відносно прямої y=-x.

Перша матриця повороту має вигляд:

Матриця відображення відносно y=-x відповідно рівна:

Результатом повороту та відображення координат K трикутника ABC будуть координати K^*:

,

.

Якщо провести перетворення в оберненому порядку (спочатку відображення, а потім поворот), то отримаємо трикутник :

.

Рис. 8 Комбінований поворот та відображення трикутника ABC ( – проміжний трикутник прямої задачі, – проміжний трикутник оберненої задачі)

Приклад 4. Побудувати матрицю повороту точки M (x, y) відносно довільної точки N (m, n) на кут ϕ у додатному напрямку.

Однорідні координати дають можливість знайти матрицю повороту відносно довільної точки. У загальному випадку поворот відносно довільної точки може бути реалізований шляхом таких перетворень:

1) переміщення точки N (m, n) на вектор (– m, –n) так, щоб центр повороту сумістився з початком координат. Матриця цього перетворення має вигляд:

2) поворот точки на кут ϕ у додатному напрямку відносно початку координат. Матриця цього перетворення визначається формулою:

Отже, для знаходження результуючого повороту точки M (x, y) відносно точки N (m, n) потрібно перемножити задані матриці за вказаним порядком:

[ X,Y,1] =[ x,y,1] .

Приклад 5. Нехай задано рівняння прямої L та трикутник ABC з координатами вершин (2,4,1), (4,6,1), (2,6,1). Дзеркально відобразити трикутник відносно даної прямої.

Пряма L пройде через початок координат під час зсуву її на 2 одиниці по осі ОY (матриця зсуву матиме вигляд – ). В результаті повороту навколо початку координат на пряма співпаде з віссю ОХ (матриця повороту матиме вигляд – ). Далі необхідно дзеркально відобразити об’єкт за допомогою матриці дзеркального відображення і повернутись в початкову орієнтацію. Комбінація перетворень матиме вигляд:

= .

Отже, координати нового трикутника матимуть будуть такими:

= .

а) б)

в) г)

д)

Рис 9. Відображення відносно будь-якої кривої а)початкове та кінцеве положення трикутника; б)зсув прямої в початок координат; в)поворот прямої та її спів падіння з віссю ОХ; г) відображення відносно осі ОХ; д) обернений поворот.
Висновки

Ідея опису точки вектором виникла з геометричних уявлень. Теореми геометрії розвивалися для афінної геометрії з часом. У них важливими є поняття паралельності і співвідношення між паралельними прямими.

Афінне перетворення є комбінацією лінійних перетворень, супроводжуваних переносом зображень. Афінні перетворення формують зручну підсистему білінійних перетворень, тому що добуток двох афінних перетворень також є афінним. Це дозволяє представити узагальнену орієнтацію системи точок стосовно довільної координатної системи при збереженні одиничного значення однорідної координати h.

Отже, афінні перетворення найбільш часто використовуються в комп'ютерній графіці. І як було показано, вони значно спрощують масштабування, поворот і зсув зображень.

Контрольні питання

1. Що таке афінні перетворення?

2. Назвіть властивості афінного перетворення.

3. Які координати називаються однорідними?

4. Назвіть найпростіші афінні перетворення.

5. Якими двома способами можна задати найпростіші афінні перетворення?

6. Як зробити поворот об’єкту відносно певної точки?

7. Запишіть матрицю зсуву об’єкту.

8. Чим відрізняється тривимірні перетворення від двовимірних?

9. Як здійснити дзеркальне відображення об’єкта відносно осі OX?

10. Як знайти матрицю перетворення, якщо відомі початкові та кінцеві координати графічного об’єкту?