Зберігаються прямі лінії, паралельність прямих, відношення довжин відрізків, що лежать на одній прямій, і відношення площ фігур

Афінні перетворення координат на площині:

(X, Y) – двовимірна система координат,

(x, y) – координати старої системи в новій системі координат.

.

Загальний вигляд афінного перетворення:

,

де A, B, C, D, E, F – константи.

Обернене перетворення теж є афінним:

Найпростіші афінні перетворення об’єкта на площині.

1. Здвиг об’єкта:

або матрицею: .

Рис. 1 Зсув об’єкта

Обернене перетворення задається формулами:

або відповідною матрицею:

.

Примітка! У літературі часто використовують іншу матрицю зсуву координат об’єкта:

.

З використанням даної матриці, нові координати об’єкту утворюються внаслідок множення старих координат на дану матрицю [ X,Y, 1]=[ x,y,1] M.

2. Масштабування об’єкту:

,

а в матричній формі:

.

Рис. 2 Масштабування об’єкта

Обернене перетворення задане:

,

та відповідно матрицею

.

Коефіцієнти можуть бути від’ємними. Наприклад, при k_x = -1 отримуємо дзеркальне відображення відносно осі Y.

Також варто зауважити, що у вище згаданих формулах йдеться про пропорційне зміщення всіх сторін об’єкту.

Якщо взяти загальну матричну перетворення , то при = , а = =0 виконується пропорційне масштабування, при , а = =0 – непропорційне.

Примітка! У даних формулах йде мова про масштабування об’єкту та його переміщення. Якщо потрібно зробити чисте масштабування без ефекту переміщення, тоді варто об’єкт помістити в центр координат.

3. Поворот об’єкта відносно центру координат на кут α відповідає системі рівнянь:

або задається матрицею

.

Рис. 3 Поворот об’єкта

Обернене перетворення – поворот на кут (-α) задане системою рівнянь:

та відповідною матрицею

.

Увага! У всіх афінних перетвореннях, описаних вище, використовуються однорідні координати – це координати неоднорідного вектора [ x,y ], що є трійкою , де деяке дійсне число. Зазвичай використовують вектор . При бажанні можна користуватись звичайними координатами, але формули матимуть наступний матричний вигляд:

зсув - ,

масштаб: ,

поворот: ,

де K – матриця координат об’єкту до перетворення, – після перетворення.