Геометричні фрактали

Фрактали цього класу найнаочніші. Цей тип фракталів утворюється шляхом простих геометричних побудов. Наприклад, у двомірному випадку їх отримують за допомогою деякої ламаної (або поверхні в тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен з відрізків (складових ламаної) замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. У результаті нескінченного повторення цієї процедури, виходить геометричний фрактал.

Перші ідеї фрактальної геометрії виникли в ХІХ ст. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури перетворив лінію на набір незв’язаних крапок (так званий Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину, після цього повторював те ж саме з відрізками.

Пеано ж намалював особливий вид лінії Пеано (рис. 1). Для її малювання італійський математик взяв квадрат і видалив у ньому нижню сторону. Утворилась крива Пеано 1-го порядку (рис. 1, а). Далі вчений зменшив квадрат рівно вдвічі, і зробив його 4 копії. Дві з них поставив паралельно одна одній, а інші дві ще повернув на чверть обороту в протилежні сторони та з’єднав кінці ліній квадратів трьома однаковими відрізками, довжиною, що дорівнює стороні нового зменшеного квадрата. Утворилась крива Пеано 2-го порядку (рис. 2, б). Процедура повторюється знову: зменшується крива 2-го порядку вдвічі, робиться чотири її копії, дві з яких повертаються, і знову з’єднуються відрізками, які теж зменшені вдвічі (рис. 1, в – е). Повторювати даний алгоритм можна до нескінченності.

а б в

г д е

Рис.1 Крива Гільберта-Пеано

Розглянемо фрактальний об’єкт – тріадну криву Коха. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини (рис. 2, а) – це 0-е покоління кривої Коха. Далі кожна ланка (у нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений на рис. 2, б. У результаті такої заміни виходить наступне покоління кривої Коха. У 1-му поколінні – це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожна завдовжки 1/3. Для отримання 2-го покоління проробляються ті ж дії – кожна ланка замінюється на зменшений утворюючий елемент. Отже, для отримання кожного подальшого покоління, всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n -гопокоління при будь-якому кінцевому n називається передфракталом. При n, прямуючому до нескінченності, крива Коха стає фрактальним об’єктом.

а б

в г

Рис 2. Побудова тріадної кривої Коха

Дуже цікавим і знаменитим фракталом є сніжинка Коха. Будується вона на основі рівностороннього трикутника, кожна лінія якого замінюється на 4 лінії, довжини кожної дорівнюють 1/3 від початкової. І якщо ми зробимо нескінченне число ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що нескінченна крива покриває обмежену площу (рис. 3).

Рис. 3 Сніжинка Коха

Розглянемо інший фрактал – “ дракон” Хартера-Хейтуея (рис. 4). Вважається, що таку назву фрактал отримав за схожість із традиційними китайськими драконами. Принаймні, так здалося вченим, які вперше його досліджували. Кожна ламана–“дракон” є лише наближенням до фракталу-“дракона” та складається з відрізків. Ламана з номером n складатиметься з 2 ⁿ відрізків. Довжина кожного дорівнює , де d – довжина вихідного відрізка. Якщо відрізки пронумерувати числами 0, 1, 2,... і йти по ламаній, то після кожного відрізка потрібно здійснювати поворот. Напрямок повороту визначається номером k поточного відрізка:

ü повернути праворуч, якщо k дає залишок 1 від ділення на 4;

ü повернути ліворуч, якщо k дає залишок 3 від ділення на 4;

ü повертати так, як після відрізка з номером k /2, якщо k парне.

Можна переформулювати ці правила, щоб отримати рекурсивну процедуру побудови ламаних-“драконів”. На кожному кроці потрібно замінити кожний із відрізків, що складають дану ламану, на куточки – сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, у якого цей відрізок є основою. При цьому потрібно по черзі відкладати ці трикутники то вліво, то вправо по ходу руху від одного кінця ламаної до іншого.

а

б
Рис. 4. Побудова “дракона” Хартера–Хейтуея

Н-фрактал. Для побудови цього фракталу будують фігуру у вигляді букви Н (рис. 5), у якої вертикальні і горизонтальні відрізки рівні. Потім до кожної з 4 вершин фігури присвоюється її копія, зменшена в два рази. Знову до кожного кінця (їх вже 16) необхідно присвоювати копії літери Н, зменшені вже в 4 рази. І так далі. Якщо кількість кроків спрямувати в нескінченність, то вийде фрактал, який візуально майже заповнює деякий квадрат. Н-фрактал всюди щільний у ньому. Тобто в будь-якому околі будь-якої точки квадрата знайдуться точки фрактала.

а б в

г д

Рис. 5. Н–фрактал

Крива Мінковського – класичний геометричний фрактал. Ініціатором є відрізок (рис. 6, а), а генератором – ламана з восьми ланок (дві рівні ланки продовжують одна одну) (рис. 6, б).

а б

в г

Рис. 6. Побудова кривої Мінковського

Крива Леві – фрактал, запропонований французьким математиком П.Леві (рис. 7). Отримується, якщо взяти половину квадрата виду з рис.7, а, а потім кожну сторону замінити таким же фрагментом, і, повторюючи цю операцію, ми отримаємо криву Леві (рис. 7, б – г).

а б

в г

Рис. 7. Побудова кривої Леві

Польський математик Врацлав Серпінський запропонував фрактал – килим Серпінського (рис. 8). Для побудови береться суцільний квадрат, розрізається на 9 рівних квадратів і видаляється середина центрального квадрата. На другому кроці видаляється 8 центральних квадратів із решти 8 квадратів і т.д. Після безконечного повторення цієї процедури, від суцільного квадрата залишається замкнута підмножина – килим Серпінського.

а б

в г

Рис. 8. Килим Серпінського

У 1915 році Врацлав Серпінський розглянув ще один фрактал – трикутник Серпінського (рис. 9). Цей фрактал відомий також як “серветка” або “решітка” Серпінського. Щоб побудувати даний фрактал необхідно взяти рівносторонній трикутник (рис. 9, а). На першому кроці видаляється трикутник з вершинами в середині сторін початкового трикутника (рис. 9, б). На другому кроці видаляються аналогічні трикутники із трьох менших трикутників, що залишилися після першого кроку, і т.д. Після нескінченного повторення цієї процедури від суцільного трикутника залишається підмножина – трикутник Серпінського.

А б в

Г д е

Рис. 9. Трикутник Серпінського

Т-фрактал. Ймовірно, цей фрактал отримав таку назву за схожість з рейсшиною (рис. 10) з причіпленою перпендикулярною планкою у вигляді букви Т. По-англійськи цей інструмент так і називається – T-square.

Рис. 10. Рейсшина

Побудова Т-фракталу розпочинається із одиничного квадрата (рис. 11, а). На першому кроці необхідно зафарбувати в центрі білим кольором квадрат зі стороною 1/2. Потім потрібно подумки розділити квадрат на 4 однакових квадрати і в центрі кожного з них зафарбувати квадрат зі стороною ¼ (рис. 11, б). Далі кожен з цих 4 квадратів знову ділиться на 4 частини, всього вийде 16 квадратиків, і з кожним з них потрібно повторити процедуру (рис. 11, в). І так далі до нескінченності.

А б в

Г д

Рис. 11. Побудова Т-фракталу

Дерево Піфагора. Даний фрактал (рис. 12) називається так тому, що кожна трійка попарно дотичних квадратів обмежує прямокутний трикутник і виходить картинка, якій часто ілюструють теорему Піфагора: «Піфагорові штани на всі сторони рівні».

А б

В г

Рис. 12. Кроки побудови дерева Піфагора

Добре видно, що все дерево обмежене. Якщо найбільший квадрат одиничний, то дерево поміститься в прямокутнику 6 × 4. Отже, його площа не перевищує 24. Але з іншого боку, кожен раз додається в два рази більше трійок квадратиків, ніж у попередньому кроці, а їх лінійні розміри в √2 разів менші. Тому на кожному кроці додається одна і та ж площа, яка дорівнює площі початковій конфігурації, тобто 2. Здавалося б, тоді площа дерева повинна бути нескінченна! Але насправді суперечності тут немає, тому що досить швидко квадратики починають перекриватися, і площа збільшується не так швидко. Вона таки скінченна, але, досі точне значення невідоме, і це відкрита проблема.

У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне при отриманні зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двомірні геометричні фрактали використовуються для створення об’ємних текстур (малюнка на поверхні об’єкта).