Цель работы

Научиться применять дифференциальные уравнения для решения прикладных задач

Ход работы

Вариант

1) Для некоторой компьютерной фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид MR =. Здесь MR – маржинальная выручка фирмы, а q – объем продукции. Маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж. Найти функцию общей выручки. Используя полученную функцию определить:

а) общую выручку, если объём продукции q = штук.

б) объём продукции, который принесёт выручку тысяч рублей.

2) Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость равна тыс.руб, стоимость его через год составила тыс. руб. Запишите формулу для вычисления стоимости оборудования. Используя полученную формулу определить:

а) какова будет стоимость оборудования через года;

б) через сколько лет стоимость оборудования составит тыс. рублей.

3) Сумма тыс. руб. положена в сберегательную кассу на % в год. Найти закон изменения суммы при условии, что приращение начисляется непрерывно и скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада. Используя полученный закон определить:

а) величину вклада через года;

б) через сколько лет величина вклада составит тыс. рублей.

4) Цена на планшеты некоторой фирмы составляет 13 тыс. рублей. Спрос s и предложение q определены соотношениями: q = p’ + p +, s = 2p’+ p +, где p’ – тенденция формирования цены (производная цены по времени). Определите формулу, по которой должна изменятся цена, чтобы спрос соответствовал предложению. Используя полученную формулу определить:

а) цену планшета через месяца;

б) через сколько месяцев цена планшета будет тыс. рублей.

5) В магазине компьютерной техники начали продажу новой модели смартфона, ежедневно продавали по смартфона. Анализ рынка показал, что можно продавать по

смартфонов в день. Через 1 месяц после начала рекламной компании стали продавать по смартфонов в день. Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом) и её текущим значением, записать закон изменения количества ежедневно продаваемых смартфонов от времени, прошедшего с начала рекламной компании. Используя полученный закон определить:

а) объём продаж через месяца после начала рекламной компании

б) через сколько месяцев после начала рекламной компании объём продаж составит

смартфонов.

2.2

2.2.1 Известно, что S = C∙e ^kt и при t = 0 S = 14. Найдите С

__________________________________________________________________________________

2.2.2 Известно, что S = 14∙e ^kt и при t = 1 S = 28. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.3 Известно, что сумма в 300 тыс. рублей положена под 7% годовых. Найдите сумму вклада через год

__________________________________________________________________________________

2.2.4 Известно, что -ln(6-p) = t + C выразите р

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

2.2.5 Известно, что Р = 7 + 14∙e ^kt и при t = 1 Р = 49. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.6 Известно, что р = 40 - C∙e ^-kt и при t = 0 р = 50. Найдите С

__________________________________________________________________________________

2.2.7 Известно, что р = 40 - 3∙e ^-kt и при t = 1 р = 70. Найдите e ^k

__________________________________________________________________________________

2.2.8 Из условия: «Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости.», получим:

__________S’ = S _______________________________

2.2.9 Из условия: «Скорость приращения вклада прямо пропорциональна первоначальной величине вклада», получим:

__________ ’ = k _________________________

2.2.10 Из условия: «Считая скорость роста продажи смартфонов пропорциональной разности между предельным значением объёма продаж (насыщенным спросом равным 200) и её текущим значением», получим

__________ p’ = (-p) ∙ k ________________

К работе допускается ______________

3. Результаты работы