Теоремы подобия

Применение тех или иных методов подобия для решения кон­кретных практических задач определяется предварительными зна­ниями о процессе, которые имеет исследователь перед началом эк­сперимента. Обычно используют три основные теоремы подобия.

Первая теорема подобия (по Ньютону): подобные между собой явления имеют численно одинаковые критерии подобия. Покажем это на примере движения тел. Пусть в двух подобных системах про­исходит подобное движение тел, описываемое вторым законом Ньютона

F=m(dv/dt), (2.1)

где F — сила; m — масса; v — скорость; t — время. Тогда для пер­вой и второй систем

F₁ = m₁(dv₁/dt₁); F₂=m₂(dv₂/dt₂). (2.2)

У подобных систем физические величины одной системы можно выразить через физические величины второй системы, применив константы подобия. Следовательно, Fi = c_FF₂; V\ = c_vv₂; ti = c_tt₂; mi = c_mm₂.

Разделив исходные выражения одно на другое, получим

F₁/F₂=(m_l/m₂)(dv₁/dv₂)(di₂/dt₁). (2.3)

Так как отношения самих величин можно заменить отношением приращений, то

dv_x = c_vdv₂ и dt_l = c_tdt₂. (2.4)

Подставив значения (2.4) в выражение (2.3) и выразив через константы подобия, имеем

c_F = c_mcJc_t. (2.5)

Преобразуя выражение (2.7)2.2 путем деления обеих частей на c_F, можно записать

c_Fc_t /(c_mc_v)= 1. (2.6)

Комплекс констант подобия c_Fc_t/ (c_mc_v) называют индикатором подобия и обозначают буквой j. Из уравнения (2.6) следует важный вывод: при выборе числовых значений констант подо­бия для группы подобных явлений необходимо соблюдение условия j= 1, т. е. выбор значений констант подобия не произволен.

Основываясь на вышеизложенных рассуждениях, М. В. Кирпичев дал такую формулировку первой теоремы подобия: у подобных явлений индикаторы подобия равны единице.

Умножив обе части уравнения (2.3) на F₂t₁ /(m₁v₁) и исходя из формулы (2.4), получим

F₁t₁ /(m₁v₁)= F₂t₂ /(m₁v₂). (2.7)

Таким образом, для группы подобных явлений одного класса (в рассмотренном примере для двух подобных явлений) числовое равенство величин Ft/(mv) сохраняется, т. е. Ft/(mv)=inv (инва­риантно, неизменно) = idem (одно и то же).

В честь Ньютона этот комплекс физических величин обозначен через Ne (Newton): Ne≡Ft/(mv), т. е. Ne тождественно равно Ft/(mv). Знак «тождество» показывает, что записано обозначение комплекса Ne, а не функция его от величин F, t, m, v.

Из сказанного следует, что для группы подобных процессов, опи­сываемых уравнением второго закона Ньютона, справедливо равен­ство: Ne₁ = Ne₂=Ne₃= … =Ne_n = idem.

Комплекс Ne называется критерием подобия, так как призна­ком подобия группы процессов одного класса является равенство этих критериев. Критерии подобия представляют собой безразмер­ные обобщенные характеристики процесса, составленные из раз­мерных физических величин. Так же как и исходное физическое уравнение, выведенный из него критерий подобия имеет определен­ный физический смысл. В приведенном примере Ne характеризует отношение действующей на частицу силы к силе инерции. Опреде­ленный физический смысл каждого критерия подобия отличает его от произвольно подобранных безразмерных комплексов из случай­ных физических величин. Из физических уравнений, отражающих явление разных классов, получают критерии подобия различных процессов — тепловых, гидравлических, механических, химических и др.

Вторая теорема подобия (Федермана — Бэкингема): количест­венные результаты опытов надо представлять в виде уравнений, вы­ражающих зависимость между критериями подобия изучаемого процесса. Критерий подобия К₁, содержащий интересующую иссле­дователя величину, должен быть выражен как функция других кри­териев K₂, К₃, К₄, …, К_п, отражающих различные стороны про­цесса:

К₁ = f (К₂,К₃,К₄,…К_n). (2.8)

Вторая теорема подобия может быть записана в виде дифферен­циального уравнения

f₁ (К₂,К₃,К₄,…К_n) = 0. (2.9)

Такие уравнения называются уравнениями обобщенных пере­менных (обобщенными) или критериальными уравнениями. Таким образом, вторая теорема подобия содержит ответ на вопрос, как следует обрабатывать полученные экспериментальные данные или в какой форме может быть получено решение системы дифферен­циальных уравнений, описывающих процесс, с помощью методов теории подобия.

Следует отметить, что критерии подобия, входящие в зависи­мость типа (2.9), не равноценны. Критерии подобия, составленные из физических величин, входящих в начальные и граничные усло­вия, точнее, в условия однозначности, — называются определяю­щими. Критерии, составленные из физических величин, не являю­щихся необходимыми для однозначной характеристики данного процесса и, в свою очередь, зависящие от этих условий, называют­ся определяемыми. В выражении (2.8) K₁ является определяемым критерием, остальные — определяющими.

В практике важной особенностью метода подобия является то, что исходная система дифференциальных физических уравнений не решается аналитически, а используется для определения вида и числа критериев в функции.

Третья теорема подобия (Кирпичева—Гухмана) обратна пер­вой, подобны те явления или системы, которые описываются одина­ковыми уравнениями связи и условиями однозначности, которых по­добны. Подобие условия однозначности обеспечивается равенством определяющих критериев подобия в случае, если явления или про­цессы качественно аналогичны. Качественно одинаковыми будут процессы, математическое описание которых одинаково.

Таким образом, третья теорема подобия формулирует необхо­димые и достаточные условия для подобия явлений или процессов. Она может быть сформулирована и так: явления подобны, если их определяющие критерии численно равны.

Требование условий однозначности при критериальном обобще­нии имеет тот же смысл, что и установление единственности (одно­значности) аналитического решения физических дифференциаль­ных уравнений. Дифференциальное уравнение описывает широкий круг явлений данного класса, основой которых является общий за­кон физики.

Инженера же интересует конкретное явление данного класса, наблюдаемое в условиях работы определенного аппарата. Поэтому из множества возможных решений исходного уравнения (или си­стемы уравнений) надо выбрать одно, соответствующее исследуе­мому явлению, т. е. получить однозначное решение. Для этого в ус­ловия задачи вводят дополнительные условия однозначности (кра­евые условия), не содержащиеся в исходной системе уравнений и ограничивающие решение единственным конкретным случаем. Краевые условия включают: а) сведения о геометрических свойст­вах системы (конфигурация и размеры рабочего объема аппарата); б) данные о физических свойствах продуктов и материалов, состав­ляющих исследуемую систему (теплопроводность, теплоемкость стенок аппарата, вязкость, плотность рабочих сред и др.); в) дан­ные о состоянии системы на ее границах (граничные, или простран­ственные, краевые условия) и о взаимодействии с окружающей средой (интенсивность теплоотдачи или массоотдачи, распределе­ние температур или концентраций на поверхности и др.); г) дан­ные о состоянии системы в начальный и конечный моменты време­ни процесса (временные условия).

Теория подобия объединяет сильные стороны аналитического и экспериментального методов исследования. Теория подобия приводит к экспериментальному решению зада­чи, основой которого является физические законы в виде исходных уравнений процесса, причем переход к обобщенным переменным существенно облегчает и ускоряет это решение.

Каждое критериальное уравнение, несмотря на эмпирический способ его получения в явной форме, имеет определенный физиче­ский смысл, ибо оно является уравнением подобия и отражением за­конов природы, выраженных исходной системой физических уравне­ний. Это — неполное, приближенное отражение, учитывающее лишь важнейшие определяющие факторы процесса, обнаруженные на данной ступени его исследования.

При проведении экспериментальных исследований обычно удает­ся установить функциональную связь между немногими, основными и существенно изменяющимися в процессе критериями подобия. Каждый из критериев обобщенного уравнения отражает одну ка­кую-либо из основных сторон процесса, а критериальное уравне­ние — весь процесс в целом.