Практична робота № 11

Тема: Розв’язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Мета: Навчитись розв’язувати лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Теоретичні відомості:

Рівняння виду у′′+ ру′+qy=0 (1)називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням 2-го порядку з сталими коефіцієнтами

Розв’язки будемо шукати у вигляді:

y=e^kx; k – стала.

y’=ke^kx; y”=k²e^kx;

e^kx (k²+pk+q)=0; /:e^kx≠0;

k²+pk+q=0; - характеристичне рівняння.

Позначимо корені через k₁,k₂.

Оскільки характеристичне рівняння квадратне, то в залежності від знака дискримінанта можливі три варіанта:

31. D>0, то корені рівняння дійсні і різні

y₁=е^k1x; y₂=е^k2x;

y=C₁ е^k1x+C₂ е^k2x, C₁,C₂ – сталі.

2. D<0 то корені рівняння комплексні:

k=

y₁= sin x; y₂= cos x;

y=e^dx(C₁sin x+C₂ cos x).

3. У випадку нульового дискримінанта корені рівняння дійсні і рівні:

y₁=e^k1x; y₂=xe^k1x,

y=e^k1x(C₁+xC₂).

Загальний розв’язок: Y=y₁c₁ + y₂c₂

• Приклад.

Розв'язати рівняння у" +4у' + Зу = 0.

Розв'язання.

Складемо характеристичне рівняння к² + 4к + 3 = 0.,

розв'язуючи його за теоремою Вієта, знайдемо корені к₁ = -3, к₂ =-1. Оскільки отримані корені різні, то у₁= е^-3х, у₂ ⁼ е^-х. Функції у₁ ї у₂ є лінійно незалежними. Отже, загальний розв'язок вихідного рівняння набуває вигляду

v = С₁ е^к₁ ^Х + С₂ е^к₂ ^Х, або у = С₁ е^-3х+ С₂ е^-х

Відповідь: у = С₁ е^-3х+ С₂ е^-х

Завдання до виконання:

1.Знайти загальні розв’язки рівняння

1. у′′+ 3у′-4y=0

2. у′′-9у′+14y=0

3. у′′+ 6у′+8y=0

4. у′′-16y=0

5. у′′-y=0

6. у′′+ 8у′+16y=0

7. у′′-у′+⅓y=0

8. у′′-6у′+45y=0

9. у′′+ 4у′+8y=0

10. у′′-5у′+6y=0

11. у′′-6у′+45y=0

2. Знайти частинні розв’язки рівняння

1. у′′-9у′=0, якщо y=2 і у′=6 при x=0

2. у′′-у′-2y=0, якщо y=3 і у′=0 при x=0

3. у′′+6у′+5y=0, якщо y=1 і у′=1 при x=0

4. у′′-10у′+25y=0, якщо y=2 і у′=8 при x=0

5. у′′+3у′+2y=0, якщо y= -1 і у′=3 при x=0

6. у′′-6у′+9y=0, якщо y=2 і у′=1 при x=0

Контрольні запитання:

1. Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням 2-го порядку з сталими коефіцієнтами?

2. Як складається характеристичне рівняння?

3. В якому вигляді шукають розв’язки, якщо дискримінант додатній?

4. В якому вигляді шукають розв’язки, якщо дискримінант від’ємний?

5. В якому вигляді шукають розв’язки, якщо дискримінант дорівнює 0?

6. Як записати загальний розв’язок рівняння?