Практична робота № 8

Тема: Інтегрування тригонометричних функцій.

Мета:Засвоїти методи інтегрування тригонометричних функцій та виробити навички інтегрування.

Теоретичні відомості:

Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:

.

Проте в деяких випадках обчислення може бути спрощеним використанням інших підстановок:

1) Якщо непарна відносно (), використовується підстановка .

2) Якщо непарна відносно (), використовується підстановка .

3) Якщо парна відносно і , і (), використовується підстановка .

Інтеграли типу , де і – парні додатні числа, обчислюються з допомогою перетворень підінтегральної функції за формулами:

.

Правило 1.

Для обчислення інтегралів виду

та

(Де п –ціле додатне число), зручно ввести допоміжну функцію sin x в першому випадку та cos x –в другому випадку.

Правило 2.

Для обчислення інтегралів виду

та

Зручно користуватись формулами

Та вводити допоміжну функцію cos 2x

Правило 3.

Для обчислення інтегралів виду

, (*)

де хоча б одне з чисел-непарне,(якщо т -непарне, то cos x) або sinx (якщо непарне- n)

Правило 4.

Для обчислення інтегралів виду (*), т та n- парні числа зручно користуватись формулами

Правило 5.

Для обчислення інтегралів виду

Зручно користуватись формулами

Приклад 1 Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання: Підінтегральна функція не є ні непарною відносно , ні непарною відносно , ні парною відносно і , і . Тому будемо використовувати універсальну тригонометричну підстановку.

Приклад 2. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання:

Підінтегральна функція непарна по , тому використовуємо заміну .

Приклад 3. Знайти невизначений інтеграл

.

Розв’язання:

Підінтегральна функція парна відносно і , і , тому використовуємо підстановку .

Правило 6.

Для обчислення інтегралів виду , де п - ціле число, більше за 1

Зручно виділити множник tg²x або ctg²x

Завдання до виконання:

Згідно номера в друкованому списку журналу, студенти обирають N (додаванням зводять номер в журналі до однозначного числа), а n та m обчислюються за формулою

n=N+1

m=abc(N-2)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Контрольні запитання:

1. Які методи інтегрування Ви знаєте?

2. В чому полягає суть інтегрування тригонометричних функцій?

3. В яких випадках(при яких значеннях п та т) можливе використання інших методів?