Главная
Случайная страница
Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Формулы действий с комплексными числами
: , ;
:
,
, .
, :
;
;
= .
.
, , ,
.
,
,
; , .
– формула Муавра.
, , k = 0, 1, 2, …, n – 1:
,
,
,…….
.
ПП 14.
1. Комплексные числа
| № п/п
| Задание
| Ответ
| ПП №14.1
| Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
.
| .
| ПП №14.2
| Вычислите
Решение:
.
|
| ПП №14.3
| Вычислите
Решение:
|
| ПП №14.4
| Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
.
|
| ПП №14.5
| Вычислите . Результат представьте в алгебраической форме. Решение:
.
|
| ПП №14.6
| Найдите и для числа .
Решение:
, , .
|
| ПП №14.7
| Запишите число в различных формах. Дайте геометрическую интерпретацию.
Решение:
Алгебраическая форма: ;
тригонометрическая форма: ; откуда ,
;
показательная форма: .
| , .
| ПП №14.8
| Найдите модули и аргументы комплексных чисел:
1) ; 2) ; 3) .
Решение:
1) ; ; ;
2) ; ; ;
3) ; ; .
|
| ПП №14.9
| Запишите комплексные числа
1) ; 2) ; 3)
в тригонометрической и показательной форме:
Решение:
1) ;
2) ;
3) .
|
| ПП №14.10
| Найдите , если .
Решение:
( расположено в IV квадранте).
Тогда .
.
| .
| ПП №14.11
| Вычислите .
Решение:
Представим число в тригонометрической форме: .
Тогда по формуле Муавра:
.
|
| ПП №14.12
| Вычислите и изобразите на комплексной плоскости .
Решение:
Запишем число в показательной форме: ;
.
.
, , , .
получен из корня поворотом на против часовой стрелки, из поворотом на и т.д.
|
| ПП №14.13
| Вычислите ; изобразите схематично значения корня на комплексной плоскости.
Решение:
;
. Начальный аргумент при равен .
Значения корня:
,
.
Соответствующие 6 точек располагаются в вершинах правильного шестиугольника на окружности радиусом .
|
| ПП №14.14
| Найдите все значения и постройте их на комплексной плоскости.
Решение:
Представим число в тригонометрической форме.
, .
.
.
.
При , ,
,
.
|
| ПП №14.15
| Найдите все значения корня .
Решение:
где . , , ,
, и т.д.
|
| ПП №14.16
| Вычислите .
Решение:
где .
- угол I четверти.
| , , , .
| ПП №14.17
| Вычислите, найдите модуль, аргумент и постройте на комплексной
плоскости число .
Решение:
1)
,
.
Для правильного отыскания аргумента рекомендуется изобразить это число на комплексной плоскости.
; ;
2) (3 радиана , так как 1 радиан );
3) ;
4) ;
5)
Вычислим модуль и аргумент полученного числа: , .
.
|
| ПП №14.18
| Дайте геометрическое описание множества всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условиям:
Решение: Запишем в алгебраической форме , тогда из условия: .
Искомое множество – нижняя половина кольца с внутренним радиусом и внешним .
|
| ПП №14.19
| Найдите множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих уравнению
Решение:
,
.
Искомое множество состоит из точек окружности единичного радиуса, центр которой имеет координаты .
|
| ПП №14.20
| Какие геометрические образы определяются условиями ?
| . (см. рисунок).
| ПП №14.21
| Какие геометрические образы определяются условиями ?
| . (см. рисунок).
| ПП №14.22
| Какие геометрические образы определяются условиями ?
| . (см. рисунок).
| ПП №14.23
| Какие геометрические образы определяются условиями ?
| . (см. рисунок).
| ПП №14.24
| Какие геометрические образы определяются условиями ?
| (см. рисунок).
| ПП №14.25
| Дайте геометрическое описание множеств всех точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим условиям: .
|
| | | | | | | | |
ПП 14.
2. Многочлены в комплексной области
| № п/п
| Задание
| Ответ
| ПП №14.26
| Проверьте, что является корнем многочлена и найдите другие корни многочлена.
Решение:
Так как , то является корнем многочлена и многочлен делится на без остатка.
Для отыскания других корней многочлена решим уравнение : Итак, многочлен имеет один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня ,
|
| ПП №14.27
| Разложите на множители
Решение:
- корень кратности 3.
|
| ПП №14.28
| Разложите на множители .
Решение:
, -действительный корень, у квадратного трехчлена действительных корней нет. Найдем пару комплексно-сопряженных корней: , .
|
| ПП №14.29
| Разложите на множители многочлен .
Решение: Очевидно, действительных корней многочлен не имеет, находим комплексные корни: , , где
Корни многочлена: .
Пары и – сопряженные: объединим сомножители попарно:
, = , .
Аналогично, .
Тогда .
|
| ПП №14.30
| Решите уравнение .
Используя формулу для решения квадратного уравнения и полагая , получим:
|
| ПП №14.31
| Решите биквадратное уравнение .
Решение:
.
; .
|
| ПП №14.32
| Решите уравнение .
Решение:
Введём подстановку . Получим квадратное уравнение . По теореме Виета корни квадратного уравнения , и исходное уравнение распадается на два более простых уравнения и , решения которых и дадут в совокупности все решения данного уравнения. Если , то .
В тригонометрической форме , поэтому , или , .
При .
При .
При . Если , то .
В тригонометрической форме , поэтому , .
При .
При .
При
|
| ПП №14.33
| Решите уравнение .
По формуле корней квадратного уравнения
.
Число, стоящее под знаком квадратного корня, можно было бы записать в показательной форме, а затем по известному правилу извлечь из него корень. Однако можно поступить иначе. Положим
Возводим обе части в квадрат и находим , откуда ; .
Эта система имеет решения: поэтому
|
|
ПП 14.
3. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
| № п/п
| Задание
| Ответ
| ПП №14.34
| Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .
Решение:
, ; , . .
| Прямая ;
| ПП №14.35
| Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .
Решение:
, – параметрические уравнения циклоиды. .
| Арка циклоиды
| ПП №14.36
| Для заданной функции найдите линейную комбинацию производных .
Решение:
. Вычислим необходимую комбинацию производных для каждого слагаемого в скобках:
Вычислим сумму:
|
|
| Постройте кривую, заданную уравнением , и найдите , если .
Решение:
, . Исключаем параметр: – уравнение эллипса.
.
| Эллипс
|
|