Линейная зависимость векторов

Рассмотрим k n-мерных векторов , , …,

Определение. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами соответственно называется вектор .

Пример 4.2. Даны векторы . Найти линейную комбинацию этих векторов с коэффициентами , , .

Решение. Согласно определению получаем

.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю, что линейная комбинация векторов с этими коэффициентами равна нулевому вектору, то есть

.

Определение. Система векторов называется линейно независимой, если равенство возможно тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю.

Теорема. Для того чтобы система векторов была линейно независимой необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор из этой системы можно было представить в виде линейной комбинации остальных.