Метод Жордана обращения матрицы

Пусть - невырожденная квадратная матрица порядка . Рассмотрим матричное уравнение

или (3.9)

где - единичный вектор, на м месте стоит единица.

Умножим это уравнение слева на обратную матрицу , получаем , поскольку произведение равно единичной матрице, то переходим к равенству

,

то есть решением системы является ый столбец обратной матрицы . Тогда решением уравнения является первый столбец матрицы , уравнения - второй столбец и т.д., - -й столбец обратной матрицы . При решении этих систем каждый раз матрица приводится к единичной матрице. При решении системы уравнений по методу Жордана-Гаусса матрица системы (её базисный минор) приводится к единичной матрице, а правые части дают решение уравнения , причём преобразованиям подвергается вся расширенная матрица. Отсюда следует, что, подвергая элементарным преобразованиям строки расширенной матрицы , на месте матрицы будет стоять обратная матрица , то есть , , следовательно , где единичная матрица порядка .

Пример 3.9. Найти обратную матрицу для матрицы .

Решение. Найдем обратную матрицу методом Жордана. Для этого составим расширенную матрицу и элементарными преобразованиями только строк этой матрицы получим матрицу (). Справа от матрицы () указываются преобразования строк данной матрицы. Например, запись (2)-2(3)→ (2) означает, что вторая строка в следующей таблице есть разность второй строки удвоенной третьей строки.

Обратная матрица записана справа от вертикальной черты и имеет вид

Проверка: