Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений

Элементарные преобразования преобразуют данную систему в эквивалентную ей систему уравнений, то есть элементарные преобразования не изменяют множество решений системы.

К элементарным преобразованиям системы уравнений относятся:

1) перестановка местами любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей любого уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число.

Используя элементарные преобразования, исходную систему уравнений приводят к такому виду, из которого легко находится решение системы.

Пример 3.4. Решить систему уравнений

Решение. Поменяем местами первое и третье уравнения, применив элементарное преобразование 1

Умножим первое уравнение на (-3) и прибавим ко второму, затем к третьему уравнению прибавим первое, умноженное на (-2). С помощью этих преобразований неизвестная исключится из второго и третьего уравнений.

.

Рассмотрим второе и третье уравнения. Умножим обе части второго уравнения на . Тогда второе уравнение примет вид .

Умножая это уравнение на 5, получим . Прибавим это уравнение к третьему и в результате получим систему

Из последнего уравнения получим , затем из второго и из первого .