Порядок решения произвольной системы линейных уравнений

1. Вычисляются ранги основной и расширенной матриц системы. Если система совместна (), то находится какой-либо базисный минор.

2. Составляется базисная система уравнений, то есть система, состоящая из уравнений, соответствующих базисным строкам.

3. Решается базисная система и находится общее решение системы уравнений (3.1), из которого получаются требуемые частные решения.

Пример 3.1. Исследовать систему уравнений и найти её решения, если она совместна.

Решение. При исследовании системы нужно ответить на вопросы: совместна или несовместна система, является ли она определённой или неопределённой.

Ответ на вопрос, совместна или несовместна система, получим, применив теорему Кронекера-Капелли. Для этого надо найти ранги матрицы системы уравнений и расширенной матрицы, то есть

и . (Проделать эту операцию самостоятельно).

Поскольку ранги равны , то система совместна. Система является неопределённой, так как ранг матриц меньше числа неизвестных переменных, следовательно, СЛАУ имеет бесконечное множество решений.

Возьмём в качестве базисного минора . В базисную систему войдут первое и второе уравнения системы, а и являются базисными неизвестными, - свободной неизвестной.

Запишем базисную систему в виде .

Решая её, найдём .

Общее решение системы уравнений имеет вид .

Найдём частные решения:

- если , то ;

- если , то .

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.