Системы линейных алгебраических уравнений

Основные понятия

Определение. Алгебраическое уравнение относительно неизвестных называется линейным, если его можно записать в виде , где - постоянные числа, они называются коэффициентами уравнения, - постоянное число, называемое свободным членом.

Определение. Совокупность линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , рассматриваемых совместно, называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

(3.1)

Система уравнений называется однородной, если .

Определение. Решением системы (3.1) называется такая совокупность чисел , которая при подстановке в систему (3.1) вместо неизвестных , обращает все уравнения этой системы в тождества.

Определение. Система уравнений (3.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения. Совместная система называется определенной, если она имеет одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система уравнений система всегда совместна, ибо всегда обладает тривиальным или нулевым решением .

Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных. Однородная квадратная система уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Определение. Две системы линейных алгебраических уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными или равносильными, если они обе несовместны или обе совместны и имеют одни и те же решения. Число уравнений в эквивалентных системах может быть различным.

В отношении СЛАУ необходимо знать:

· является ли система совместной или нет;

· является ли система определенной или нет;

· каково решение системы.