Определители

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n .

С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную числовую характеристику, называемую определителем, соответствующую этой матрице.

Определение. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, равное значению выражения и обозначается .

Прежде чем ввести понятие определителя n -го порядка, введем определения понятий минора и алгебраического дополнения элемента a_ij, для любых i, j.

Определение. Минором M_ij любого элемента a_ij матрицы n -го порядка называется определитель (n- 1)-го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из исходной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, т.е. i -й строки и j -го столбца.

Пример 2.7. Найти минор M₂₃ матрицы .

Решение. Составим матрицу _, соответствующую элементу , то есть из исходной матрицы вычеркнем элементы второй строки и третьего столбца, остальные элементы образуют матрицу . Найдем определитель матрицы , следовательно, вычислим минор .

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij определителя n - го порядка называется минор M_ij элемента a_ij, умноженный на число (-1)^i+j_.

.

Пример 2.8 Найти алгебраическое дополнение элемента а₂₃ матрицы

.

Решение. Из примера 2.7 известно, что , тогда алгебраическое дополнение элемента будет равно .

Определение. Определитель квадратной матрицы n-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

Вычисление определителя по данной формуле называется разложением определителя по элементам -го столбца (первая сумма) или j -й строки (вторая сумма).

Пример 2.9. Вычислить определитель .

Решение. Поскольку третья строка и второй столбец содержат один элемент, равный нулю, то целесообразно вычисление определителя выполнить, разложив его по третьей строке или по второму столбцу. Тогда получим

Слагаемое с нулевым множителем написано для иллюстрации того, что при вычислении определителя эти слагаемые нужно опускать.

Вычислим этот же определитель, разложив его по третьему столбцу.