Извлечение корня n-ой степени из комплексных чисел

Определение. Пусть – натуральное число. Корнем –ой степени из комплексного числа (обозначают ) называют комплексное число , такое, что .

Пусть , . Тогда получаем

. Отсюда , , следовательно .

Таким образом, все корни –ой степени из комплексного числа могут быть найдены по формуле

, где .

Замечание. Формально в последней формуле может принимать любое целое значение. Но угол и угол различаются на величину . Следовательно, при и получается одно и то же комплексное число. Таким образом, различных значений корня будет только , чтобы их найти достаточно взять .

Пример 1.6. Найти все значения .

Обозначим значения через . Чтобы найти необходимо сначала записать комплексное число в тригонометрической форме. Имеем , ,

, ,

.

Теперь находим

,

где . Или, более подробно,

, ,

, .