Определение и различные формы записи комплексного числа

Пусть символ обозначает число, квадрат которого равен , то есть

.

Определение. Число называют мнимой единицей. Выражение вида , где – действительные числа, называют комплексным числом. При этом, называют действительной частью числа , – его мнимой частью. Действительную и мнимую части числа обозначают соответственно и , то есть и .

Комплексное число вида (где ) принято называть чисто мнимым и записывать в виде . Комплексные числа и (т.е. числа, которые отличаются только знаком мнимой части), называют комплексно сопряженными. Если одно из этих чисел обозначено через , то другое принято обозначать .

Определение. Пусть , . Комплексные числа и называются равными (записывают ), если соответственно равны их действительные и мнимые части, т.е. и . При этом полагают, что и . Последнее равенство позволяет рассматривать действительные числа как подмножество множества комплексных чисел.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки (рисунок 1). Причем соответствие между комплексными числами и точками плоскости будет взаимно однозначным. Плоскость, на которой реализовано такое соответствие, называют комплексной плоскостью. Ось комплексной плоскости называют действительной осью, так как точкам оси соответствуют действительные числа. Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа. Поэтому ось комплексной плоскости называют мнимой осью.

Рисунок 1

Определение. Расстояние от точки комплексной плоскости до начала координат , называют модулем комплексного числа и обозначают . Очевидно, что и .

Определение. Величину угла между вектором и действительной осью называют аргументом комплексного числа (при этом берут со знаком «плюс», если поворот от оси к вектору осуществляется против часовой стрелки, и со знаком «минус» – в противном случае). Очевидно, что аргумент данного комплексного числа () определен неоднозначно, причем любые два значения аргумента отличаются на величину, кратную . Множество значений аргумента числа обозначают . Значение аргумента, принадлежащее промежутку , обозначают и называют главным значением аргумента. Для аргумент не определен.

Пусть , , – аргумент . Очевидно, что

, .

Тогда комплексное число можно записать в виде

.

Запись комплексного числа в виде принято называть алгебраической формой записи комплексного числа, а запись в виде – тригонометрической формой записи.

На практике нередко приходится переходить от одной формы записи комплексного числа к другой. Такой переход не представляет трудности. Действительно, если число записано в виде , то его действительная часть и мнимая часть находятся по формулам

, .

Если число записано в виде , то его модуль и аргумент находятся по формулам

,