Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т. е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (далее чаще используется сокращение ОДУ).В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение - значит определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных. Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей математики доказываются теоремы о существовании и единственности решения в зависимости от тех или иных условий.

1. Решение ОДУ с помощью группы решения.

Дифференциальное уравнение первого порядка может по определению содержать помимо самой искомой функции y(t) только ее первую производную y'(t). В подавляющем большинстве случаев дифференциальное уравнение можно записать в стандартной форме (форме Коши): у' (t)=f (y(t),t)

Вычислительный блок для решения одного ОДУ, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей:

Given - ключевое слово;

ОДУ и начальное условие, записанное с помощью логических операторов, причем

начальное условие должно быть в форме y(t₀)=b;

odesolve(t,t₁) - встроенная функция для решения ОДУ относительно переменной t на

интервале (t₀,t₁). Например,

Для того, чтобы визуализировать полученную функцию можно построить ее график:

Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y(t),в которое входят производные этой функции вплоть до y(N) (t), называется ОДУ N-ГО порядка. Если имеется такое уравнение, то для корректной постановки задачи Коши требуется задать N начальных условий на саму функцию y(t) и ее производные от первого до (N-l)-ro порядка включительно. В MathCAD 2001 можно решать ОДУ высших порядков как с помощью вычислительного блока Given/odesolve, так и путем сведения их к системам уравнений первого порядка. Внутри вычислительного блока:

- ОДУ должно быть линейно относительно старшей производной, т. е. фактически должно быть поставлено в стандартной форме;

- начальные условия должны иметь форму y(t)=b или у (t)=b

Например,

2. Решение систем дифференциальных уравнений.

Систему дифференциальных уравнений можно решить используя тот же блок Given/odesolve. При этом количество начальных условий равно сумме порядков всех уравнений, входящих в систему.

Например:

3. Решение дифференциальных уравнений без помощи блока решений.

MathCAD содержит следующие встроенные функции для решения дифференциальных уравнений:

- rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования;

- Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования (величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения);

- Bulstoer – метод Булирша-Штера (более эффективен в случае если решение является плавной функцией).

Эти функции имеют сходные параметры (y, a, b, n, D):

- y – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему (в случае одного уравнений и одной неизвестной функции – это просто число);

- a – начало отрезка, на котором ищется решение (именно в этой точке находятся значения вектора y);

- b – конец отрезка интегрирования;

- n – количество частей, на которые разбивается отрезок интегрирования;

- D(x, y) – векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы в нормальной записи (когда левые части – производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют)

Например:

Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений на примере системы Вольтерра-Лотки. Эта система описывает динамику численности хищников и жертв на замкнутой территории и задается следующими уравнениями:

где N₁ – количество хищников,

N₂ – количество жертв,

- параметры системы

Запишем данные уравнения, параметры системы и начальные значения количества хищников и жертв в группу решения: