Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная по направлению. ГрадиентСкалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины. Примеры Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле. Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.
Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть -- это функция трех переменных, она называется функцией поля. И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле. Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y). Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z). Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке. или Рассмотрим некоторый вектор и на нем две точки M0(x0, y0, z0) и . Найдем приращение функции в направлении : . Производной по направлению называется следующий предел, если он существует: . где -- направляющие косинусы вектора ; α, β, γ -- углы, которые образует вектор с осями координат. Для функции двух переменных эти формулы принимают вид: или , так как .
Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь. Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора: . Следствие. Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что ).
Выводы: 1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания: . 2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если , то функция в этом направлении возрастает, если , то функция убывает. 3. Если вектор совпадает с одним из векторов , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной. Например, если , тогда . Пример (см. задание VII) Даны функция , точка А(1, 2) и вектор . Найти: 1) ; 2) . Решение. 1) найдем частные производные функции и вычислим их в точке А. , . Тогда . 2) Найдем направляющие косинусы вектора : . Тогда . Ответ: ; .
Ниже приведены задания для контрольной работы. Номер варианта соответствует последней цифре Вашего шифра. Из каждого задания необходимо выполнить пример, номер которого совпадает с номером Вашего варианта. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками. Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.
|