Моменты инерции тела относительно осей координат. Момент инерции тела относительно начала координат

(7.4)

Момент инерции тела относительно начала координат. . (7.5)

Пример 7.1 ( 2265 )

Вычислить массу прямоугольного параллелепипеда с плотностью

Решение. Для вычисления массы составим тройной интеграл, используя формулу (7.1) и вычислим его. Область является правильной (см. рис. 7.1).

Рисунок 7.2

Пример 7.2. Найдём координаты центра масс половины шара , плотность в каждой точке которого пропорциональна расстоянию от начала координат.

Решение. Данную задачу удобнее решать в сферической системе координат.

Тогда плотность в каждой точке заданного тела будет равна .

Тогда

Учитыва симметрию (см. рис. 7.2), можно утверждать,что абсцисса и ордината центра масс половины шара будут равны нулю. А аппликату вычислим по формуле (7.3).

Ответ:

Пример 7.3. Найдём момент инерции относительно оси абсцисс однородного (плотности μ) кругового цилиндра с высотой h и радиусом основания R.

Решение. Данную задачу решим в цилиндрической системе координат.

Построим цилиндр в прямоугольной системе координат так, чтобы ось была его осью симметрии и основание принадлежало бы плоскости . (См. рис. 7.3)

В этом случае область, занимаемая цилиндром такова, что , где .

Перейдём к цилиндрическим координатам (см. (6.1)), составим тройной интеграл (см. (7.4)) и вычислим его.