Сферическая система координат

Связь между сферическими и декартовыми координатами выглядит следующим образом: , (6.4) где .

Заметим, что при этом . Самостоятельно вычислите Якобиан и убедитесь в том, что при переходе к сферической системе . Следовательно, переходя к сферическим координатам, имеем:

(6.5)

Замечание 2. В сферических координатах уравнение сферы принимает вид , уравнение кругового конуса принимает вид . Поэтому целесообразно переходить к этим координатам, если в условии задачи присутствуют конусы и сферы. Замечание 3. Чтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системе координат в повторный, можно поступить следующим образом. Пересечём тело, занимающее область , полуплоскостью, проходящей через ось , и выделим площадку , которая при этом получится. Через ось построим две полуплоскости, которые образуют двухгранный угол, внутри которого заключено тело. Для этого двухгранного угла, а значит, и для области . И тогда (6.5а) В двойном интеграле по области пределы расставим как в полярной системе координат с той разницей, что переменная меняется от вертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки.

Пример 6.1. Вычислим объём тела, заключённого между двумя полусферами и и двумя коническими поверхностями и .

Решение. Согласно вышесказанному, уравнения сфер в сферических координатах примут вид и . Уравнения конусов, являющихся телесными углами, примут вид и соответственно, в чём легко убедиться,заменив в уравнениях поверхностей декартовы переменные сферическими (см. (6.4)).

Чтобы преобразовать тройной интеграл в сферической системе координат в повторный (см. замечание 3), пересечём тело, занимающее область , полуплоскостью, проходящей через ось , и выделим площадку , которая при этом получится (на рис. 6.3 эта площадка справа выделена синим). Для того, чтобы получить всё тело, площадку надо провращать вокруг оси на угол . Тогда В двойном интеграле по области пределы расставим как в полярной системе координат с той разницей, что переменная меняется от вертикальной оси, где она равна нулю, возрастая против часовой стрелки. Т.е. . И окончательно, получаем

Пример 6.2. Найдём объём тела, заданного системой неравенств , с помощью тройного интеграла.

Решение. Построим сферу и параболоид, заданные в условии, и выделим тело, ограниченное ими.

уравнение нижней части сферы- ,

уравнение параболоида- z=r². Обратите внимание на прямую линию в левой части рисунка 6.4. Мы видим, что при возрастании переменной сферическая поверхность ограничивает тело снизу, а параболическая – сверху. Объём тела вычислим как тройной интеграл, где (см. свойства). (см. (6.3а)). Область является радиально правильной. Расставим пределы в повторном интеграле и вычислим его.

.

2 способ. Рассмотрим решение этой же задачи в сферической системе координат. . Преобразуем уравнения поверхностей. Уравнение сферы примет вид: .

Уравнение параболоида: . Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, пересечём область полуплоскостью, проходящей через ось . Получим плоскую область (на рис. 6.3 она справа закрашена жёлтым цветом). Так как область была получена при вращении этой площадки вокруг оси , для всех точек переменная . И тогда . (см. (6.5а)) Область является радиально правильной и для всех её точек , а переменная меняется от параболоида до сферы. (Обратите внимание на прямую линию в правой части рисунка 6.3)

В соответствии с данными рассуждениями составим повторный тройной интеграл в сферической системе координат и вычислим его:

.

Пример 6.3. Найдём объёма тела, ограниченного поверхностями

Решение. Построим тело, ограниченное данными поверхностями, учитывая то, что оно является телом вращения, поскольку уравнения всех поверхностей зависят от . Для этого пересечём поверхности

При вращении этой области вокруг оси получим пространственную область , которую занимает заданное тело. Эта область не является правильной, так как снизу ограничена двумя поверхностями, параболоидом и плоскостью . Поэтому для вычисления требуемого объёма придётся разбить область на две правильные и тогда (см. рис. 6.6). В этом случае

Область на рис. 6.6 выделена тёмным сиреневым цветом.

. Область выделена светлым сиреневым цветом.Перейдём в цилиндрическую систему координат (см. (6.2)) и составим оба интеграла. Из формулы следует: 2-ой способ. Искомый объём можно найти иначе, а именно как . (См. рис. (6.6)) Здесь , причём область - круг , а . И в этом случае

3-ий способ. Наконец, можно изменить порядок интегрирования и составить повторный интеграл следующим образом:

(В этом случае вращаем область вокруг оси так, что , а интеграл представляем как повторный по -правильной области (см. рис.6.6, жёлтая область справа).

Домашнее задание к занятию 6:

ОЛ-6 №№ 2255, 2257, 2259, 2261, 2263 или ОЛ-5 №№ 8.123, 125, 126, 128.