Индексы граней кристалла

Положение грани кристалла в пространстве однозначно задаётся индексами граней кристалла. За начало координат берут один из узлов пространственной решётки. За оси координат x, y, z пространственной ячейки кристалла берут три ряда узлов решётки с общим началом и промежутками, которые в общем случае могут быть на каждой оси разными: a, b, c – это единичные отрезки длины на каждой из осей. Равняются они наименьшим расстояниям между узлами по осям. Каждая грань кристалла проходит через узлы решётки непосредственно или после перемещения её параллельно самой себе. Отрезки, которые грань отсекает на осях координат, называются линейными параметрами (ОА, ОВ, ОС на рис.4).

Рис.4. Кристаллографические индексы.

Выразим эти отрезки числом промежутков a, b, c для грани АВС. Тогда получим: ОА = 2a, OB = 3b, OC = 6c. Числа 2, 3 и 6 называются числовыми параметрами. Запишем отношения обратных им чисел 1/2: 1/3: 1/6. Приведём их в виде отношения целых чисел: 6/2: 6/3: 6/6 = 3: 2: 1. Этот же результат можно получить если привести дроби к общему знаменателю, а затем его отбросить. Эти числа называются индексами граней кристалла или индексами Миллера. Они всегда представляют собой целые небольшие числа. Грань, которая отсекает по одному промежутку на каждой из осей, называется единичною. Её числовые параметры 1,1,1. Индексы такой грани также 1,1,1. Три индекса, записанные в круглых скобках, являются символами грани. Для АВС они будут (321). Знаки отношения (двоеточие) не пишутся. Если грань пересекает отрицательное направление оси, то над индексом ставят знак минус, например (1 1). Плоскости, которые характеризуются цифрами, полученными умножением на общий множитель, например (110) и (330), являются параллельными, поэтому в кристаллографическом отношении они идентичны.

Чем больше индексы, тем меньше расстояние между кристаллографическими плоскостями d_hkl и тем меньше плотность атомов на них (рис.5). Это, соответственно, уменьшает яркость соответствующих отражений.

Межплоскостное расстояние для кубической решётки рассчитывают по формуле:

d_hkl = , (3)

где a – постоянная решётки.

Положение каждой системы плоскостей в решётке кристалла задаётся тремя индексами hkl (индексы Миллера). Такие же индексы приписывают и электронам, отражённым от данной системы плоскостей.