Алгоритм

Начертательная геометрия

Методические указания по выполнению графической работы

«Пересечение плоскостей» для студентов 1 курса специальностей и

направлений: 240500- Эксплуатация судовых энергетических установок,

240600 - Эксплуатация электрооборудования и автоматики судов,

100100 - Электрические станции,

100500 - Тепловые электрические станции

Калининград

Издательство КГТУ

УДК 744 629.12

УТВЕРЖДЕНО

Ректором Калининградского

государственного технического

университета

АВТОРЫ - Рудаченко С.В., канд. техи. наук, доцент кафедры инженерной графики Калининградского государственного технического университета

Рудаченко Т.В., канд. техн. наук, доцент той же кафедры

Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой инженерной графики Калининградского государственного технического университета 30 мая 2003 г., протокол №9.

РЕЦЕНЗЕНТ - кафедра инженерной графики Калининградского государственного технического университета

© Калининградский государственный технический университет, 2003 г.

Оглавление

1 Содержание работы..................................................................................4

2. Методы построения линии пересечения плоскостей............................4

3. Последовательность выполнения работы............................................13

Приложение...............................................................................................23

Литература..............................................................................................31

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В каждом варианте задания указаны:

- координаты шести точек;

- способ задания плоскостей;

- вид аксонометрической проекции.

Варианты заданий приведены в приложении данного методического пособия.

Требуется решить следующие задачи:

а) по заданным координатам первых трех точек построить треугольник АВС - первая плоскость. По заданным координатам остальных трех точек и способу задания построить вторую плоскость (треугольник, две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые, следы);

б) построить линию пересечения двух плоскостей и составить алгоритм решения данной задачи;

в) построить горизонтальный и фронтальный следы линии пересечения плоскостей;

г) определить видимость плоскостей;

д) перечисленные пункты (а-г) выполнить в заданной аксонометрической проекции.

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ

ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Эта линия определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям. Для нахождения таких точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Рассмотрим такой случай [1].

На Рис. 1 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к плоскости π₂. Так как треугольник DEF проецируется на плоскость π₂ в виде прямой линии (D^IIF^II), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К₁^II К₂^II на проекции линии D^IIF^II. Дальнейшее построение ясно из чертежа.

На рис. 2 горизонтально-проецирующая плоскость a, заданная следами, пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок 1^I2^I - определяется на следе h^I_oa.

Вопрос о видимости линий всегда можно свести к вопросу о видимости точек [1].

Если несколько точек расположены на общей для них проецирующей прямой, то видимой будет только одна из них:

а) по отношению к пл. π₁ - точка, наиболее удаленная от π₁;

б) по отношению к пл. π₂ - точка, наиболее удаленная от π₂;

в) по отношению к пл. π₃ - точка, наиболее удаленная от π₃;

Рассмотрим рис. 3. Точки 1 и 2 двух скрещивающихся прямых расположены на общей для них проецирующей прямой, перпендикулярной к пл. π₂ , а точки 3 и 4 - на проецирующей прямой, перпендикулярной пл. π₁.

Точка пересечения горизонтальных проекций данных прямых представляет собой слившиеся проекции двух точек, из которых точка 4 принадлежит прямой АВ, а точка З - прямой СD. Так как 3^II 3^I> 4^II 4^I, то видима относительно пл. π₁ точка 3, принадлежащая прямой СD, а точка 4 точкой 3 закрыта.

Так же и точка пересечения фронтальных проекций прямых АВ и СD представляет собой слившиеся проекции двух точек 1 и 2, из которых точка 1 принадлежит прямой АВ, а точка 2 - прямой СD. Так как 1^I1^II >2^I 2^II, то видима относительно пл. π₂ точка 1, закрывающая собой точку 2.

Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей (метод вспомогательных секущих плоскостей).

Пусть одна из плоскостей, β, заданна двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ, - двумя параллельными прямыми (рис. 4). В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая К₁ К₂.

Для определения положения точек К₁ и К₂ возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (a₁ и a₂), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ с плоскостью a₁ получаем прямые с проекциями 1^II 2^II и 3^II 4^II, затем определяем горизонтальные проекции этих прямых - 1^I 2^I и 3^I 4^I. Эти прямые в своем пересечении определяют первую точку линии пересечения плоскостей β и γ - точку К₁.

Введя, далее, плоскость a₂, получаем в ее пересечении с β и γ прямые с проекциями 5^II 6^II, затем 5^I 6^I и 7^II 8^II, а затем 7^I 8^I. Эти прямые в своем пересечении определяют вторую точку, К₂, общую для β и γ.

Получив горизонтальные проекции К₁^I и К₂^I, находим на следах f^II0a₁ и f^II0a₂ проекции К₁^II и К₂^II. Этим определяются проекции К₁^I К₂^I и К₁^II К₂^II искомой прямой пересечения плоскостей β и γ (проекции проведены штрихпунктирной линией).

Алгоритм решения данной задачи:

1. a₁ ┴ π₂

2. (1,2) = a₁ ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (3,4) = a₁ ∩ γ (ED || GF)

з. К₁ = (1,2) ∩ (3,4)

4. a₂ ┴ π₂ /\ a₂ || a₁

5. (5,6) = a₂ ∩ β (АВ ∩ ВС) /\ (7,8) = a₂ ∩ γ (ED || GF)

6. К₂ = (5,6) ∩ (7,8)

7. (К₁К₂) = β ∩ γ

Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций (рис. 5), то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей: прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, то есть их линией пересечения.

Схему построения линии пересечения двух плоскостей (рис. 4) можно распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют сами плоскости проекций.

Алгоритм:

1. h^I_oa = a ∩ π₁ /\ h^I_oβ = β ∩ π₁

2. М = h^I_oa ∩ h^I_oβ

3. f^II_oa = α ∩ π₂ /\ f^II_oβ = β ∩ π₂

4. N = f^II_oa ∩ f^II_oβ

5. (M N) = a ∩ β

Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей a и β (рис. 5) надо: 1) найти точку М^I в пересечении следов h^I_oa и h^I_oβ и точку N^II в пересечении f^II_oa и f^II_oβ, а по ним - проекции М^II и N^I; 2) провести прямые линии М^II N^II и М^I N^I.

При нахождении линии пересечения двух плоскостей (рис. 4) вспомогательные секущие плоскости можно провести и через прямые, принадлежащие одной из плоскостей ( например, АВ, ВС или DE, FG), и найти точки пересечения с другой плоскостью. Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с плоскостью общего положения.

Для построения точки пересечения прямой с плоскостью общего положения надо выполнить следующее [1]:

1) через данную прямую провести некоторую вспомогательную плоскость;

2) построить прямую пересечения данной и вспомогательной плоскостей;

3) определить положение точки пересечения прямых - данной и построенной.

На рис. 6 показано построение точки пересечения прямой DЕ с плоскостью a, заданной треугольником АВС. Через прямую DЕ проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость γ. По точкам 1^I и 2^I найдены фронтальные проекции 1^II и 2^II’ и тем самым определена прямая (1,2), по которой вспомогательная плоскость γ пересекает плоскость a, заданную треугольником АВС. Затем найдена точка К^II, в которой фронтальная проекция прямой пересекает фронтальную проекцию 1^II 2^II. После этого остается найти горизонтальную проекцию точки пересечения - К^I.

Алгоритм

1. γ (DE) /\ γ ┴ π₁

2. (1,2) = γ ∩ a(ΔАВС)

3. К = (1,2) ∩ (DE)

Рис. 6

Считая, что в пространстве заданы прямая и непрозрачный треугольник, определим видимые и невидимые части прямой DE относительно плоскостей π₁ и π₂ (видимость определяется методом конкурирующих точек).

Чтобы определить видимость на плоскости π₁, берем конкурирующие точки 1 и 3, горизонтальные проекции которых совпадают. Точка 1 принадлежит стороне треугольника АС, а точка З - прямой DЕ. Анализируем фронтальные проекции точек 1 и 3: точка 3 наиболее удалена от плоскости π₁ (координата z точки 3 больше, чем у точки 1) и, следовательно, на горизонтальной проекции отрезок D^IК^I - видимый, а К^I Е^I- невидимый.

Видимость на π₂ определяется с помощью конкурирующих точек 4 и 5, фронтальные проекции которых совпадают. Точка 5 принадлежит прямой АВ, а точка 4 - прямой DЕ. Точка 5 наиболее удалена от плоскости π₂ (координата у точки 5 больше, чем у точки 4) и, следовательно, на фронтальной проекции отрезок D^IIК^II- невидимый, а Е^IIK^II - видимый.

Алгоритм

1. β (АВ) /\ β ┴ π₁

2. (1,2) = β ∩ a

3. К = (1,2) ∩ (АВ)

На рис. 7 рассмотрен пример построения точки встречи прямой АВ с плоскостью общего положения a, заданной следами. Через прямую АВ проведена горизонтально-проецирующая плоскость β. (1,2) - линия пересечения плоскостей a и β. При пересечении фронтальных проекций 1^II2^II и А^IIВ^II определена фронтальная проекция искомой точки К^II. К^I находится на А^IВ^I.

На рис. 8 рассмотрен случай определения точки пересечения прямой частного положения АВ (АВ - горизонтальная прямая) с плоскостью a, заданной следами. Для решения задачи через АВ была проведена горизонтальная плоскость.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Данная работа выполняется на листе чертежной бумаги форматом А2 (420х594). Работа выполняется по вариантам (см. Приложение).

Строятся координатные оси и горизонтальные и фронтальные проекции точек. Затем, в соответствии со способом задания плоскостей, строятся отсеки плоскости.

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей в ортогональных проекциях для нескольких вариантов.

Построение линии пересечения плоскостей в случае, когда они заданы треугольниками АВС и DEF, рассмотрено на рис. 9 и рис. 10.

На рис. 9 точки К₁ и К₂ линии пересечения определяются с помощью вспомогательных секущих плоскостей a и β (a и β- фронтальные плоскости).

Алгоритм решения задачи:

1. a || π₂

2. (1,2)= a ∩ γ(ΔDEF) /\ (3,4)= a ∩ Σ(ΔАВС)

3. К₁ = (1,2) ∩ (3,4)

4. β || π₂

5. (5,8)= β ∩ γ(ΔDEF) /\ (6,7)= β ∩ Σ(ΔАВС)

6. К₂ = (5,8) ∩ (6,7)

7. (К₁К₂) = γ(ΔDEF) ∩ Σ(ΔАВС)

На рис. 10 линия пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF, определяетсяпо точкам встречи прямых одной плоскости с другой плоскостью.

Заключим прямую EF во вспомогательную плоскость - фронтально-проецирующую плоскость a. 1^II 2^II - фронтальная проекция линии пересечения плоскости a и плоскости Σ, заданной треугольником АВС.

Определяем горизонтальные проекции 1^I и 2^I. При пересечении 1^I 2^I с горизонтальной проекцией прямой Е^IF^I получаем горизонтальную проекцию К₁^I. Проекцию К₁^II находим на Е^IIF^II. Вторая точка, принадлежащая линии пересечения плоскостей, находится аналогично. Заключаем прямую АС в горизонтально - проецирующую плоскость β. 3^I 4^I - горизонтальная проекция линии пересечения плоскости β с плоскостью γ, заданной треугольником DEF. Пересечение 3^II 4^II с фронтальной проекцией прямой АС дает фронтальную проекцию точки К₂^II. Проекцию К₂^I ищем на соответствующей проекции прямой. К₁ К₂ - линия пересечения плоскостей.

Алгоритм решения задачи (рис 10):

1. a (EF) /\ a ┴ π₂

2. (1,2) = a ∩ Σ(ΔАВС)

3. К₁ = (1,2) ∩ (EF)

4. β (AC) /\ β ┴ π₁

5. (3,4) = β ∩ γ(ΔDEF)

6. К₂ = (3,4) ∩ (AC)

7. (К₁К₂) = γ(ΔDEF) ∩ Σ(ΔАВС)

Видимость плоскостей определяется с помощью метода конкурирующих точек, сущность которого была рассмотрена выше.

Рассмотрим пример определения линии пересечения плоскостей для случая, когда одна из плоскостей задана следами h^I_oγ и f^II_oγ.

На рис. 11 линия пересечения плоскостей К₁ К₂ определена с помощью вспомогательных секущих плоскостей a и β (a и β - горизонтальные плоскости).

Вспомогательная плоскость a пересекает плоскость Σ, заданную треугольником АВС, по прямой (2,3). 2^II 3^II- фронтальная проекция этой линии пересечения. Плоскость a пересекает плоскость γ, заданную следами, по горизонтальной прямой h₁, проходящей через точку 1. Пересечение горизонтальных проекций 2^I 3^I и h^I₁ дает горизонтальную проекцию точки К^I₁. Фронтальная проекция К^II₁ определится на фронтальном следе плоскости a. Вторая точка линии пересечения К₂, определится аналогично.

Алгоритм решения задачи:

1. a || π₁

2. h₁(1 Є h₁ )= a ∩ γ /\ (2,3) = a ∩ Σ(ΔABC)

3. К₁ = h₁ ∩ (2,3)

4. β || π₁

5. h₂ (5 Є h₂)= β ∩ γ /\ (4,6) = β ∩ Σ(ΔABC)

6. К₂ = h₂ ∩ (4,6)

7. (К₁К₂) = γ ∩ Σ(ΔАВС)

Линия пересечения плоскостей, когда одна из них задана следами, а другая плоской фигурой, может быть определена и по точкам встречипрямых одной плоскости с другой плоскостью(рис. 12).

Для определения точек К₁ и К₂ вводятся две горизонтально - проецирующие плоскости a и β. Через сторону треугольника АС проводится вспомогательная плоскость a. 1^I 2^I - горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей a и γ. Точка К^II₁ получается при пересечении фронтальной проекции прямой 1^II 2^II с А^IIС^II. Горизонтальная проекция К^I₁ определяется на А^IС^I. Плоскость β проведем через сторону AB.

Точка К₂, принадлежащая линии пересечения, определяется аналогично.

Алгоритм:

1. a (AC) /\ a ┴ π₁

2. (1,2)= a ∩ γ

3. К₁ = (1,2) ∩ (AC)

4. β (AB) /\ β ┴ π₁

5. (3,4)= β ∩ γ

6. К₂ = (3,4) ∩ (AB)

7. (К₁К₂) = γ ∩ Σ(ΔАВС)

На рис. 12 показано определение видимости для данного варианта.

Построение следов линии пересечения плоскостей (рис. 10).

Горизонтальным следом М прямой является точка пересечения этой прямой с горизонтальной плоскостью проекций, то есть точка, аппликата которой z=0. Для нахождения горизонтального следа М ≡М^I прямой К₁ К₂ (рис. 10) продолжаем фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Х и через эту точку проводим линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Фронтальным следом N является точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций, в этой точке значение у = 0. Чтобы определить фронтальный след N≡N^II прямой К₁ К₂ необходимо продлить горизонтальную проекцию этой прямой до пересечения с осью Х и через эту точку провести линию проекционной связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой.

Построение линии пересечения в аксонометрических проекциях.

В зависимости от номера варианта построение линии пересечения двух плоскостей в аксонометрической проекции выполняется в прямоугольной изометрии или в прямоугольной диметрии. Алгоритм построения линии пересечения плоскостей в аксонометрии ничем не отличается от алгоритма решения данной задачи в ортогональных проекциях. Линия пересечения плоскостей может быть определена с помощью вспомогательных секущих плоскостей или по точкам встречи прямых одной плоскости с другой. Построения выполняются на одной из вторичных проекций и в пространстве.

На рис. 13 приведен пример определения точки встречи прямой d с плоскостью, заданной треугольником АВС.

Алгоритм:

1. a d /\ a ┴ π₁

2. (1,2)= a ∩ Σ(ΔАВС)

3. К₁ = (1,2) ∩ d

Образец выполнения эпюра приведен на рис. 14.

Наименование графической работы - «Пересечение плоскостей»

Эпюр оформляется в соответствии с требованиями единой системы конструкторской документации (ЕСКД) [2].

Обозначение эпюра - НГЧ.011.Э11.ХХХ

ЛИТЕРАТУРА

1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии.-М.: Высшая школа, 1998.-272с.

Методические указания по выполнению графической работы

«Пересечение плоскостей» для студентов 1 курса специальностей и

направлений: 240500- Эксплуатация судовых энергетических установок,

240600 - Эксплуатация электрооборудования и автоматики судов,

100100 - Электрические станции,

100500 - Тепловые электрические станции

Редактор Г. Смирнова

УОП КГТУ. Заказ. Тираж 50 экз. Объем 2,0 п.л., 1,45 уч.-изд. л.