Последовательный симплекс метод

Этот метод относится к методам экспериментальной оптимизации. Он широко используется в производственной и лабораторной практике. Выбор этого метода планирования эксперимента определяется отсутствием требований к необходимости постановки большого количества опытов (план ненасыщенный) для составления исходной матрицы, а также при определении движения к оптимуму, что весьма важно при большом количестве варьируемых переменных. Кроме того, ошибка в определении целевой функции в этом методе не уводит далеко от стационарной области – потребуется лишь сделать несколько добавочных шагов.

Методика по определению целевой функции состоит в следующем.

1.Составляют матрицу планирования эксперимента из условия получения ее целочисленной или почти целочисленной. Существует много методик по составлению матрицы планирования. Примем для исследований почти целочисленную матрицу.

Таблица 3.5

-1	+1	+1	+1	+1
+1	-1	+1	+1	+1
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
+1	+1	+1	+1	-1

(3.9)

где - число варьируемых переменных

2. Производят расчет координат начального симплекса по методике рассмотренной выше и определяют целевую функцию для каждого опыта;

3. Отбрасывают точки плана с наименьшим численным значением целевой функции и строят новый симплекс. Координаты новой точки симплекса х* рассчитывают из уравнения (в векторной записи)

(3.10)

где номер вершины исходного симплекса с наименьшим значением целевой функции.

Для (прогнозируемое значение целевой функции в новой точке)

(3.11)

4. Проводят эксперимент в новой точке х* и получают соответствующее значение целевой величины.

5.Последовательное перемещение симплекса, в процессе которого на каждом шаге происходит отбрасывание вершины симплекса с наихудшим значением целевой величины и реализация опыта в новой вершине. При этом направление перемещения центра симплекса колеблется около направления градиента.

6. Ели при перемещении симплекса на протяжении шагов та или иная вершина сохраняет свое положение. То симплекс совершает оборот вокруг этой вершины. Это означает что, в данной точке находится оптимум целевой функции, либо значение целевой функции в этой вершине определено не верно. Чтобы уточнить какая ситуация имеет место, в этой точке вновь проводится эксперимент и, в дальнейшем, работают с новым значением целевой величины.

7. Если оказывается, что целевая величина в новой вершине симплекса меньше, чем в остальных вершинах, в соответствие с логикой движения следует возвратиться к предыдущему симплексу. Чтобы предотвратить «зацикливание», в качестве отбрасываемой выбирают вершину с наименьшей (после наихудшей вершины симплекса) величиной целевой функции.

8. Если новая вершина выходит за пределы допустимой области планирования, следует поступать как в п.7.

9. При достижении области оптимума размер симплекса уменьшают (как правило, на ¼ часть начальной величины).

10. Оптимум считается достигнутым, если одна и та же точка входит в последовательные симплексы N раз, где

(3.12)

Выражение получено эмпирически. Другое достижение оптимума может быть получено из выражения

(13)

Где - малая величина, среднее значение целевых величин в вершинах симплекса.

Ротатабельные центральные композиционные планы

Рассматривая недостатки симплекс метода мы отмечали его малую информативность по области оптимума, а также влиянии отдельных варьируемых факторов на целевую функцию. Для того, чтобы получить математическую модель процесса, оценить значимость каждого исследуемого фактора на целевую функцию часто процесс описывают регрессионным уравнением первого, второго или третьего порядка. Иногда бывает целесообразно комплексное проведение исследований: вначале выявить незначимые факторы по методу Плакетта-Бермана, затем с оставшимися варьируемыми переменными по симплекс методу найти оптимальные значения этих переменных и, наконец, провести эксперимент с этими переменными по ротатабельному центральному композиционному плану. После проведения рототабельного композиционного плана можно исследовать регрессионное уравнение аналитическими методами на оптимум целевой функции и тем самым проверить достигнутый оптимум в последовательном симплекс методе. При таком подходе часто оказывается возможным существенно сократить число опытов.

Матрица этого плана состоит из ядра плана, звездных точек и центра плана. В качестве ядра плана может быть использован полный факторный план. Величина плеча для ротатабельного плана второго порядка вычисляется по формуле

где - число варьируемых переменных.

В таблице 3.8 приведен значения числа опытов точек, плеча в центре плана, звездных точек и общего числа точек N для ротатабельных униформ- планов второго порядка. В таблице 3.9 приведена матрица ротатабельного центрального композиционного плана для Обратим внимание на то, что центральная точка фигурирует раз. Это значит, что при вычислении оценок коэффициентов мы будем использовать результат каждого параллельного измерения в центре плана, а не их среднее значение. Заметим, что параллельные опыты в центре плана позволяют рассчитать оценку дисперсии ошибок и наблюдений. Обработка экспериментальных данных и получение регрессионного уравнения ведут по специальной программе на ПК. Подробный вывод уравнений можно посмотреть / / в специальной литературе.

Таблица 3.8

Параметры центральных ротатабельных композиционных планов

Размер ность	Ядро плана	Число звездных точек
					1,414
				1,682
				2,000
					2,378
					2,828
					3,333

Пример

Определить влияние общего температурного напора и числа ступней выпаривания концентрирующей сульфатной выпарной установки на себестоимость выпаривания. Получить математическую модель в виде регрессионного уравнения и выполнить аналитическую оптимизацию параметров с целью получения минимальной себестоимости выпаривания.

Уровни варьирования факторов приведены в таблице 3.9

Матрица планируемого эксперимента и результаты себестоимости процесса выпаривания руб./час в таблице 3.10

Таблица 3.9

Уровни варьирования факторов

факторы	кодовое обозна чение	(звездные точки)	(нижний уровень)	(основной уровень)	(верхний уровень)	(звездные точки)
Общий температур рнй напор		88,7	89,5	91,5	93,5	94,3
Число сту пеней вы паривания

Переход от кодированных значений к переменным осуществим по формулам

(1)

тогда

, (2)

где i -номер варьируемой переменной;

n – номер опыта;

- кодированное значение переменной;

- натуральное значение переменной;

- натуральное значение переменной на нулевом уровне;

- шаг варьирования переменных.

Таблица 3.10

Матрица планирования эксперимента и результаты расчета себестоимости выпаривания

Значения нулевого уровня для варьируемых переменных определим из практических данных. Пусть имеем:

общий температурный напор в выпарной батарее – 91,5 град.

количество ступеней выпаривания – 8.

Таким образом, с учетом принятия шага для варьирования полезного температурного напора 2 град., для числа ступеней выпаривания – 2 ступени, будем иметь:

В натуральных значениях параметров матрица планирования эксперимента можно представить в виде

Таблица 3.11.

Матрица планирования эксперимента в натуральных значениях параметров

Подставив в таблицу численные значения стоимости выпаривания, можно обработать выражения для стоимости выпаривания функцией двух переменных (общий температурный напор по выпарной батарее и число ступеней выпаривания) полиномом второй степени.

Этот полином имеет вид:

Значения критерия Фишера для модели F=1 при критических значениях Fкр(0,01)=16,7; Fкр(0,05)=6,59. Отсюда следует, что математическая модель адекватна.

Анализ полученной математической модели показывает, что на эффект себестоимости процесса выпаривания ведущую роль играет число ступеней выпаривания и в меньшей степени – общий температурный напор. Так коэффициенты как при линейных, так и квадратичных членах при числе ступеней выпаривания существенно выше чем при общем температурном напоре.

Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим два уравнения с двумя неизвестными:

Решив уравнения относительно х1 и х2 найдем значения для оптимизируемых переменных.

Составляем систему уравнений:

Решение системы уравнений позволяет получить:

Численные значения этих параметров соответствуют для числа ступеней выпаривания 8,84; для общей полезной разности температур 90,72 градусов. Принимаем число ступеней выпаривания n = 9 и полезную разность температур град.

Метод Бокса — Уилсона (метод крутого восхождения)

Стратегия метода Бокса — Уилсона при исследовании поверхности отклика с целыо нахождения экстремума состоит в следующем. На основе малой серии опытов находится локальное описание поверхности отклика в некоторой исходной области с помощью модели линейного вида. В центре области рассчитывается линейное приближение градиента, и в направлении градиента, т. е. в направлении наискорейшего подъема (крутом восхождения), проводятся опыты до достижения стационарной области, в которой расположен экстремум. Если найденное ли нейное приближение градиента для центра области существенно отличается от значения градиента в некоторой точке по направлению движения, то можно найти новое описание поверхности отклика с помощью полиномов первого порядка в окрестности этой точки и рассчитать новое значение градиента. В стационарной области линейная модель оказывается уже не адекватной, и для описания поверхности отклика в этой области, как правило, используются полиномы второй и даже третьей степени. В стационарной области требуется провести большее количество экспериментов, так как здесь необходимо получить возможно более точное описание.

Если модель линейная, т. е.

У = а0х0+а1х1+...апхп,

то коэффициенты ai являются координатами вектор-градиента. Если изменять факторы пропорционально найденным оценкам коэффициентов ai то реализуется движение в направлении наискорейшего приближения к оптимуму. Компоненты градиента и нормированного градиента полученной линейной модели зависят от выбора основного уровня и интервалов варьирования переменных.

Необходимо стремиться так выбирать интервалы варьирования, чтобы величины коэффициентов (в случае их значимости) имели бы одинаковый порядок. В этом случае применение метода крутого восхождения является наиболее эффективным.

Метод Бокса—Уилсона состоит из следующих шагов:

Построение линейной модели. Предполагается, что эксперимент начинается с точки, достаточно удаленной от оптимума (или так называемой стационарной области); поэтому для описания поверхности отклика в окрестности начальной точки можно использовать линейную модель, С помощью факторного планирования можно найти точки проведения наблюдений и рассчитать оценки коэффициентов. Статистический анализ результатов завершает этот этап.

Пошаговое улучшение величины ц е л е в о й функции. Чтобы осуществить движение в направлении оптимума, необходимо рассчитать направление градиента и определить величину шага до следующего опыта. Координаты 1-й точки наблюдения по направлению градиента находятся по формуле

x_i^l=x_i^(l-1)+λa_i

()

гдеa_i - x_i^0=0оценка i-го коэффициентах). Так как градиент всегда проходит через центр плана x_i^0=0, то

x_i^l=lλa_i ()

где λ— выбранная величина нормированного шага. При выборе величины шага имеют значение соображения, близкие к тем, которые используются при выборе интервала варьирования. Величину шага для k-ro фактора λ k выбирают из физических соображений (целесообразно, чтобы этим фактором была переменная, в наибольшей степени влияющая на целевую функцию), выражая ее в натуральных единицах (0С, секунды, концентрация и т. д.); затем рассчитывают

λ=λ_k/Δ_(k a_k)

где Δ_(k)—интервал варьирования [Δ_(k)= 1⁄2 (x_kmax-x_kmin)].

Для определения величины шага〖 λ〗_i по остальным переменным в натуральных единицах используется следующее соотношение:

λ_i= λ|a_i |Δ_(i)

При этом получается, что величины шагов λ_i всегда соотнося друг с другом также как модули величин a_i Δ_(i)т.е

λ_1: λ_2:…: λ_n=|a_1 | Δ_(1): |a_2 | Δ_(2):...∶|a_n | Δ_(n)

Важную роль в методе крутого восхождения играют „мысленные" эксперименты. Мысленным экспериментом называют расчет выходной величины по модели в точках, расположенных в направлении градиента. На основе этих расчетов исследуется поведение поверхности отклика в направлении градиента.

Если модель адекватна, то реализацию мысленных экспериментов начинают обычно с точки, лежащей вне области, ограниченной точками начального плана. В примере 12.2 это опыт под номером 7. Величина выходной переменной, рассчитанная в этой точке с помощью модели, приведена в табл. 12.2. При реализации опытов в направлении градиента могут быть использованы две различные стратегии: в первом случае все выбранные для реализации опыты проводятся одновременно, во втором— последовательно по некоторой программе. Одновременную реализацию всех опытов проводят обычно тогда, когда исследуемый процесс подвержен временному дрейфу, а реализация каждого опыта не требует больших временных или материальных затрат. В случае когда постановка опытов связана с большими временными или материальными затратами, предпочтительнее последовательная стратегия.

П р и м ер

В табл. 12.2 для двумерного случая указаны условия проведения эксперимента, план эксперимента (типа 22) и результаты наблюдений, полученные путем вычисления среднего по двум опытам в каждой точке плана. Требуется рассчитать величину шага и координаты дальнейших опытов в направлении крутого восхождения, приняв величину шага по переменной x_2^* равной 0,5. Результаты расчетов приводятся в нижней части табл. 12.2 х). Здесь через x_i^* обозначены факторы в натуральных единицах.

Пояснения к таблице примера

После выполнения первичной матрицы планирования эксперимента определяем линейное регрессионное уравнение

Y=a_0-a_1*x_1-a_2*x_2

Находим a_0 как среднее (по модулю) значение целевых функций |Y|. Тогда

a_0=(95,0+90,0+85,0+82,0)/4=88

a_1=(-95,0+90,0-85,0+82,0)/4=-2

a_2=(-95,0-90,0+85,0+82,0)/4= -4,5

Уравнение имеет вид

Y=88-2*x_1-4,5*x_2

Шаг при изменении x_2^* на 0,5

(|a_1 | Δ_(1))/(|a_2 | Δ_(2))=λ_1/λ_2 | (-2*0,5)/(-4,5*1)=λ_1/0,5 | λ_1=(2*0,5*0,5)/4,5=0,11

Округленная величина λ_1=0,10

Таким образом:

Опыт 5

x_1^*=x_0-λ_1 (при λ_1=0,10)

x_2^*=x_0-λ_2 (при λ_2=0,5)