Застосування комплексних чисел

Для групи Р-52

Розділ 1. Лінійна і векторна алгебра

Лекція №3. Комплексні числа

Мета: розширити множину дійсних чисел до множини комплексних чисел; ввести поняття суми, різниці, добутку та частки комплексних чисел.

Тип уроку: урок вивчення нового матеріалу.

Хід заняття

І Ознайомлення учнів з планом вивчення теми

План.

1. Необхідність виникнення комплексних чисел.

2. Означення комплексних чисел.

3. Додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел.

4. Застосування комплексних чисел.

ІІ Мотивація навчальної діяльності

Багато з вас чули, що крім добре відомих нам дійсних чисел, в математиці розглядаються деякі таємничі числа – комплексні числа або уявні.Але все ж таки в теорії комплексних чисел немає нічого уявного і навіть більш того: поняття комплексного числа більш просте, ніж поняття дійсного числа. Строге визначення комплексних чисел і правила роботи з ними, як ми переконаємося далі, потребує значно меншого рівня математичних знань і математичної культури, ніж побудова поняття дійсного числа на такому ж рівні строгості.

Головний аргумент на користь вивчення комплексних чисел полягає в тому, що за їх допомогою можна розв’язувати задачі, які важко розв’язувати другими методами, залишаючись на множині дійсних чисел.

ІІІ Розкриття теми лекції за планом.

1. Необхідність виникнення комплексних чисел.

Комплексні числа виникли із практики розв’язування алгебраїчних рівнянь. Під час розв’язування квадратних рівнянь у випадку, коли його діскрімінант був від’ємним, корені не існували на множині дійсних чисел. Те саме спостерігалося і під час розв’язування рівнянь вище другого степеня, тому постала необхідність у розширенні поняття числа.

З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які вже мали поняття про квадратний корінь і від’ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, а тому квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали.

У ХVІ ст. італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв’язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 р.праці італійського матеметика Джироламо Кардано (1501-1576) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв’язків кубічного рівняння х³ + рх +q =0.

Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні, усі корені дійсні, проміжні обчислення приводять до уявних чисел (їх називали «фальшивими», «неіснуючими»). Відповідний випадок розв’язування згаданого кубічного рівняння називали «незвідним». У зв’язку із застосуванням формули Кардано з’явилися символи виду а ± √(-b) (b – додатнє число), яким спочатку не надали будь-якого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дій з дійсними числами.

Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530-1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже в сучасному вигляді.

Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали Лейбніц і швейцарський математик Іоганн Бернуллі, які ще в 1702 р. чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменниками. В 1712р. між Лейбніцем та Бернулі виникла суперечка щодо природи логарифмів комплексних і від’ємних чисел. Лейбніц стверджував, що логарифми від’ємних чисел уявні, а І. Бернулі вважав, що вони дійсні. Це питання розв’язав у 1749 р. Ейлер на користь Лейбніца. Формулу (соsψ⁺_- i sinψ)ⁿ = cosnψ ⁺_- i sinψ, було виведено у першій четверті ХVIII ст. англійським ученим Абрахамом де Муавром (1667-1754). У сучасному вигляді цю формулу навів Ейлер у «Вступі до аналізу», застосовуючи замість символа і загально вживаний у ті часи символ √-1.

Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на його могильній плиті знак √-1 як символ потойбічного світу.

2. Означення комплексних чисел.

Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширені множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1) означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2) для нових чисел повинні виконуватися п’ять законів прямих арифметичних дій (пригадайте ці закони);

3) у новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння х² = -1, бо в цій множині має виконуватися дія, обернена до піднесення до степеня.

Оскільки існує вимога, щоб у новій числовій множині рівняння х² = -1 мало розв’язок, необхідно вести деяке нове число, вважаючи його розв’язком цього рівняння.

Ми з вами зіткнулися з такою проблемою при розв’язанні квадратних рівнянь в випадку, коли Д<0. Відповідь – рівняння немає коренів, а правильніше сказати немає дійсних коренів.

Наприклад: Розв’язати рівняння Х²+Х+5=0.

Д = 1-20 = -19 < 0

Відповідь – рівняння немає дійсних коренів.

Число, квадрат якого дорівнює -1, позначається буквою і та називають уявною одиницею (і - перша буква латинського слова imaginarius - уявний). Підкреслимо, що рівність і² = -1 приймається за означенням і не доводиться.

Найбільший подив викликає рівність і² = -1, бо добре відомо, що квадрат числа не може бути від’ємним! На це зауваження, звісно можна сказати: квадрат дійсного числа не може бути від’ємним, але чому ця властивість дійсних чисел повинна бути справедливою і на більш широкій множині комплексних чисел. Не дивуємося ж ми, що а² = 2, а – раціональне число, але а = √2 - ірраціональне.

Отже, і – перше число на множині комплексних чисел. Множину комплексних чисел позначають літерою С.

Вирази а + bі, де а, b – будь-які дійсні числа, як приклад 2 + (-3)і;

1-√3і, називають алгебраїчною формою запису комплексного числа. Слово «комплексний» означає складений.

Якщо Z – комплексне число, то Z = а + bі. Дійсні числа а та b називаються дійсною та уявною частинами числа z відповідно і позначаються так:

а = ReZ, b = ImZ.

Наприклад: Z = 6 + 7і, тоді дійсна частина числа ReZ=6, а уявна ImZ=7.

Розглянемо два комплексних числа z₁ = a + bi, z₂ = c + di.

Два комплексні числа z₁ та z₂ називаються рівними, тоді і тільки тоді, коли а=с і b=d, тобто, коли рівні їх дійсні та уявні частини.

Це означення може бути застосоване при розв’язані вправ такого типу.

Наприклад: встановити при яких дійсних значеннях х і у рівні слідуючі комплексні числа z₁=х²+хуі-5+і та z₂ =хі-у²+уі.

Запишемо дані числа в стандартному вигляді:

z₁=х²-5+(ху+1)і та z₂ =-у²+(х+у)і.

Re z₁=х²-5, Re z₂ =-у²; Im z₁=ху+1, Im z₂ = х+у.

Отже, розв’язуючи систему, що складається з двох рівнянь:

х²-5=-у² та ху+1= х+у ми одержимо значення х і у.

Поняття «більше» і «менше» для комплексних чисел не має смислу. Ці числа за величиною не порівнюють, тому не можна сказати, наприклад, яке з чисел більше 10і чи 3і, 2+5і чи 5+2і.

Важливим є поняття про спряжені комплексні числа. Числа а + bі та

а - bі, дійсні частини яких рівні, а уявні рівні за модулем та протилежні за знаком, називають спряженими.

Наприклад: Числа 8 + 5і та 8 - 5і.

2. Додавання, віднімання, множення, ділення комплексних чисел.

Сумою двох комплексних чисел z₁ = a + bi тa z₂ = c + di називається комплексне число z, дійсна та уявна частина якого дорівнює відповідно сумі дійсних та уявних частин даних чисел, тобто

z=z₁+z₂, z = (a+c) + (b+d)i.

Наприклад. Виконати додавання комплексних чисел:

(3+2і) +(-1-5і)=(3-1)+(2-5)і=2-3і.

Правила додавання дійсних чисел розширено на множину комплексних чисел, тому z+0= z, 0= 0+0і. 1 = 1 + 0і

Z + 0 = a + bi + 0 + 0i = a+0 + (b + 0)i = a + bi = z

За аналогією вводиться поняття протилежних чисел: два числа a + bi та - a – bi, сума яких дорівнює 0, називають протилежними.

На множині комплексних чисел с праведливі закони додавання: переставний та сполучний.

z₁+z₂= z₂- z_1, (z₁+z₂ )+z₃= z₁+(z₂+z₃)

Віднімання комплексних чисел

Віднімання комплексних чисел вводять як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.

Різницею двох комплексних чисел z₁ = a + bi тa z₂ = c + di називається комплексне число z = u + vi, яке в сумі з z₂ дає z₁.

Нехай z₁ = a + bi z₂ = c + di

Знайдемо різницю Z = z₁ – z₂, де z = u + vi через суму z таz₂.

Тобто, z₁ = z +z_2.

Виходячи з властивості рівних комплексних чисел, запишемо:

a + bi = (u + vi) + (c +di)

a + bi = (u + c) + (vi +di)

a + bi = (u + c) + (v +d)i

Прирівняємо дійсні та уявні частини:

a = u + c b = v +d.

Виразимо u та v:

u = a – c v = b – d,

таким чином, ми знайшли дійсну та уявну частини різниці z.

Отже, z = (a - c) + (b - d)і, тобто дійсна частина різниці двох комплексних чисел дорівнює різниці дійсних частин зменшуваного і від’ємника, а уявна частина – різниці уявних частин зменшуваного і від’ємника.

Наприклад. Виконати віднімання:

(-5+2і) - (2+і) = (-5-2) + (2-1)і = -7+і.

Під час розв’язування прикладів на сумісне додавання і віднімання комплексних чисел можна користуватися правилами додавання і віднімання многочленів.

Наприклад. Виконати дії:

(2,3+1,5і) – (0,9-2,4і) + (-5,8+і) – (-7,8-3,4і) =

=(2,3-0,9-5,8+7,8) + (1,5+2,4+1+3,4)і = 3,4+8,3і.

Множення комплексних чисел. Нехай z₁ = a + bi, z₂ = c + di, z = u + vi.

Добутком двох комплексних чисел z₁ та z₂, називається комплексне число

z = z₁∙z₂, де z = (ас-bd) + (ad+bc)i.

Доцільність такого означення перевіримо, знайшовши добуток z = z₁∙z₂ за правилами множення двочленів, а саме

z = (a+bi)∙(c+di) = ac + adi +bci + bdi² = ac - bd + (ad + bc)i

Z∙1 = Z Дійсно, z∙1 = (a+bi)∙(1+0i) = a + bi = z

Наприклад. Виконати множення комплексних чис ел:

(4-5і)(3+2і) =12+8і-15і-10і² = 12+10-7і = 22-7і.

Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному та сполучному.

Ділення комплексних чисел. Нехай z₁ = a + bi, z₂ = c + di, z = u + vi

Комплексне число z називається часткою комплексних чисел z₁ і z₂, якщо z ∙ z₂ = z₁.

Правило введене по аналогії з правилом ділення дійсних чисел, але алгоритму ділення це правило не дає. Спробуємо установити такий алгоритм, за умови, с = c + di не дорівнює нулю.

Виконаємо множення чисел z ∙ z₂:

(u + vi) (c + di) = uc+udi+vci+vdi² = uc-vd +(ud+vc)i.

Тоді

a + bi = uc-vd +(ud+vc)i.

Прирівняємо дійсні та уявні частини рівних комплексних чисел:

а = uc-vd та b = ud+vc.

Система, яка складається з двох даних рівнянь відносно невідомих u та v, має єдиний розв’язок – u = (ac +bd)/ (c²+d²) v = (bc-ad)/ (c²+d²).

Отже,, z = z₁ / z₂ =(a + bi)/ (c + di) = (ac +bd)/ (c²+d²) +((bc-ad)/ (c²+d²))і.

Цей результат ми можемо одержати, помноживши ділене та дільник на число, спряжене до дільника.

Виконаємо ці дії:

z = z₁ / z₂ =(a + bi)/ (c + di) = (a + bi)(c - di)/ (c + di) (c - di) = ((ac+bd) + (bc-ad)i) /(c²+d²) = (ac+bd)/ (c²+d²) +((bc-ad)/(c²+d²))і.

Використаємо цей прийом при розв’язуванні прикладів на ділення комплексних чисел.

Приклад. Знайти частку комплексних чисел:

(2+5і)/(3-2і) =((2+5і))(3+2і))/ ((3-2і) (3+2і)) = (-4+19і)/13 = -4/13 + (19/13)і.

Піднесення до степеня комплексних чисел здійснюється за тими ж правилами, що і дійсних чисел.

Звернемо увагу на цікаву особливість піднесення до степеня уявної одиниці:

і² = -1; і³ = -і; і⁴ = 1; і⁵ = і; і⁶ = -1; і⁷ = -і; і⁸ = 1...

Щоб піднести число і до степеня з натуральним показником n, треба показник степеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення. В загальному вигляді це можна записати так:

і^4m = 1; i^4m+1 = 1; i^4m+2 = -1; i^4m+3 =i³ = -i.

Приклади. Виконати дії:

і⁵⁵ =і⁵²⁺³ = 1 ∙і³ = -і;

(3+2і)³ = 27+54і+36і²+8і³ = -9+46і.

Добування квадратного кореня з від’ємних чисел здійснюється, виходячи з основної рівності комплексних чисел, а саме і² = -1.

Зауважимо, що існують два і тільки два значення квадратного кореня з -1, це і та –і. Умовно це записуютт так: √-1 = ± і.

Таким чином, √-64 = ± 8і.

Застосування комплексних чисел.

Розглянемо застосування комплексних чисел в алгебрі при розв’язанні рівнянь другого та вищих степенів, розкладанні на множники.

Приклади.

1. Розв’язати рівняння:

х² - 4х + 5 = 0.

Маємо, х₁₂ = 2 ± √4 – 5 = 2 ± √-1 = 2 ± і;

Х₁₂ = 2 +- і.

2.Розкласти на множники:

а + 16 =(√а)²–(-1) ∙4² = (√а)²–і² ∙4² = (√а – 4і) (√а + 4і).

ІV Підсумок уроку

Питання до класу.

1.Чи завжди можна добути корінь у множині раціональних чисел? У множині дійсних чисел?

2.Чим викликана потреба розширення множини дійсних чисел?

3. Дати означення комплексного числа. Показати, що множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел.

4. Добути квадратний корінь із -25.

5. Піднести до степеня і ¹⁰.

6. Чому дорівнює сума і добуток двох спряжених комплексних чисел?

V Домашнє завдання

Вивчити теорію за планом лекції.

Додаткове завдання: самостійно розібрати тему «Геометрична інтерпретація комплексних чисел» за планом:

1.Встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини.

2.Відповідність між комплексними числами та векторами.

3.Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел.

Література:

1.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Хмара Т.М. Алгебра і початки аналізу: Підручник для учнів 10 кл. З поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти. – К.: Освіта, 2000.

2.Віленкін Н.Я. Математика Навчальний посібник для студентів педінститутів – М. Просвещение

3.Боровик В.Н. Математика Посібник для факультативних занять – К. «Радянська школа»

4.Математика в школі 1,1999 Науково методичний журнал Кужель О. Логічні основи шкільного курсу математики

6. Методика факультативних Занять в 9-10 кл Вибрані питання математики І.Н Антонов... 1983

7. Вибрані питання математики факультативний курс 10 А.М Абрамов, Н.Я Виленкін...1980

8. Цікаві розділи математики 8-11 О.Г Приймаков 2001р.

9. Газета Математика № 35 1996р. М. Мовшович, А. Суходський Комплексні числа: задачі.

10. Івін О.А Логіка.- К.: Артек, 1996.

11. Никольская И. Л. Математическая логика. - М.: Высш. Шк., 1981.

12. Програми для загально-освітніх навчальних закладів. Математика, 5-11 класи. К.: Шкільний світ, 2001.