Построение модели

В этой задаче в качестве неизвестных величин можно принять X1 – протяженность линии ВЛ 10 кВ и X2 – протяженность линии ВЛ 35 кВ, обслуживаемых бригадой в течение месяца; обе линии измеряются в километрах. Теперь выясним взаимосвязи. Величина 0,01*X1 выражает количество неисправностей на всей линии 10 кВ. Аналогично, величина 0,007*X2 есть количество неисправностей на линии 35 кВ. Если подсчитать время, затрачиваемое на устранение неисправностей на одной и другой линиях, то получим: 0,6*0,01X1 + 1,2*0,007X2.

Но кроме времени на ремонт, бригада затрачивает время на профилактические осмотры. Его можно определить как 0,5*X1 + 0,8*X2. Таким образом, суммарное время, затрачиваемое бригадой на обслуживание обеих ВЛ: (0,6*0,01*X1 + 1,2*0,007*X2) + (0,5*X1 + 0,8*X2) = 0,506*X1 + 0,8084*X2. С другой стороны, время, в течение которого бригада может заниматься обслуживанием, ограничено 432 часами. Итак, мы имеем время, потраченное на обслуживание, и время, в течение которого это обслуживание может осуществляться. Очевидно, что затраченное время не должно превышать отпущенного, т.е. 0,506*X1 + 0,8084*X2 <= 192.

Рассмотрим теперь расход проволоки. Мы уже знаем, что общее количество неисправностей на линии рано 0,01*X1 + 0,007*X2, и в 10% от этого количества необходима замена провода по 0,2 км на каждую неисправность. Следовательно, общий расход провода:

0,1*(0,01X1 + 0,007X2)*0,2 = 0,00002X1 + 0,000014X2.

Соотнеся этот расход с имеющимся запасом провода, получим:

0,00002X1 + 0,000014X2 <= 10

Итак, окончательно имеем две взаимосвязи, образующие систему ограничений.

0,506X1 + 0,8084X2 <= 192,

0,00002X1 + 0,000014X2 <= 10.

Переходим к построению целевой функции.

Доход бригады, который она будет иметь за обслуживание ВЛ:

270X1 + 320X2 руб.

Отсюда целевая функция

Z= 270X1 + 320X2 ® max.

В итоге всех рассуждений получена следующая математическая модель данной задачи.

1) X1 ³ 0 и X2 ³ 0 – условия не отрицательности неизвестных, которые вытекают из смысла принятых обозначений.

2) 0,506X1 + 0,8084X2 <= 432;

0,00002X1 + 0,000014X2 <= 10 – система линейных ограничений, выражающая связи между неизвестными величинами, расходом ресурсов и их запасами.

3) Z = 270X1 + 320X2 ® max – линейная целевая функция, устанавливающая цель – получение максимального дохода за обслуживание ВЛ (воздушных линий)

Примечание.

Обратите внимание, что запись условия поставки продукции может быть записана различным образом: 3Х₁≥90 или –3Х₁≤-90. С точки зрения математики эти две записи эквивалентны, но по решению теневая цена одной единицы записанного ограничения будет различна: либо число со знаком минус, либо число со знаком плюс. И в том и в другом случае такое число будет говорить о том, что каждый лишний килограмм плана по луку будет снижать величину получаемого дохода на величину теневой цены. Возникает законный вопрос: так как же все-таки целесообразно записывать такое ограничение? Обе записи справедливы, а использовать лучше ту, которая одинакова по смыслу с другими ограничениями, т.е. в системе ограничений лучше во всех записях сохранять один знак неравенства, чтобы потом было легче сделать запись двойственной модели к данной задаче. Более подробнее об этом в разделе о свойствах линейных моделей.

Тема 3: ЭКОНОМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ОТЧЕТА ПО

«УСТОЙЧИВОСТИ»

Отчет по устойчивости формируется на отдельном листе книги Excel из диалогового окна «Результаты поиска решений», где в графе «Тип отчета» следует выбрать «Устойчивость». Отчет по устойчивости состоит из двух частей. Первая об изменяемых ячейках, т.е. о тех переменных, которые обеспечивают необходимое значение целевой функции или являются определяемыми. Вторая – об ограничениях, введенных в условие решаемой задачи. Структура обеих частей одинакова и содержит по семь столбцов таблицы в каждой.

Слева направо эти столбцы имеют следующие заголовки:

- Ячейка, здесь указываются адреса ячеек, в которых хранятся либо значения искомых переменных, либо значения формул левых частей ограничений;

- Имя, здесь сообщаются либо обозначения искомых переменных, либо название каждого ограничения (например, «площадь», «план» и т.д.);

- Результ. значение, в этой графе содержатся полученные значения либо переменных, либо значения формул левых частей ограничений;

- Нормир. стоимость, эта графа находится в части отчета о переменных, в части об ограничениях она называется Теневая цена, смысл значений в этой графе рассмотрим ниже;

- Целевой коэффициент, эта графа находится в части отчета о переменных и содержит коэффициенты при переменных, с которыми они входили в целевую функцию. В части отчета об ограничениях эта графа носит название «Правая часть ограничений». Очевидно, не сложно догадаться, что в ней содержится;

- Две последние графы в обеих частях отчета носят одинаковые названия: «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение». В них заносятся значения, на которые возможно изменить заданные по условию значения либо целевых коэффициентов, либо правых частей ограничений и тем самым получить пределы изменения соответствующих величин.

Смысл анализа продемонстрируем на примере задачи о выращивании лука, моркови и свеклы.

Задача. На садовом участке имеется возможность 120м² использовать для выращивания лука, моркови и свеклы для продажи. Многолетняя средняя урожайность культур составляет3, 4 и 5кг/м² для перечисленных культур соответственно, а затраты труда на выращивание одного килограмма продукции аналогично составляют 0,2, 0,25, 0,22час/кг. Пусть сами мы не хотим заниматься реализацией своей продукции, а решаем продать ее оптом перекупщику, который поставил условие предоставить ему лука 90кг, моркови 200кг и свеклы 100кг, при этом он согласен заплатить нам по 8, 12 и 15 рублей за килограмм каждого продукта соответственно. Сколько площади необходимо отвести под каждую культуру для обеспечения максимально возможного дохода от такого производства, если мы планируем расходовать по 0,75 часа труда ежедневно в течение всех 120 дней выращивания?