Примеры решения задач

Задача 1.

К одному из узлов плоской фермы приложена сила . Определить реакции опор фермы и усилия во всех её стержнях.

Дано: P = 8 кН	Решение 1) Определение реакций опор. Внешние силы, приложенные к ферме: , и ; их линии действия должны пересекаться в одной точке (D). Треугольник сил , , подобен треугольнику ADО. Получаем:
RA, RB, Si, 1 ≤ i ≤ 10

, где , , .

R_B = 16 кН; = 17.88 кН.

2) Определение усилий в стержнях. На каждый узел фермы действуют реакции сходящихся в нём стержней. Эти реакции равны усилиям в стержнях. Рассмотрим равновесия сил, приложенных к узлам, выбирая узлы такой последовательности, чтобы число неизвестных сил в узле не превышало двух. Пусть все стержни растянуты. Отрицательные значения найденных реакций показывают, что соответствующие стержни сжаты. Рассматривая равновесие узлa B получаем, что .

Узел D: ; = –16 кН.

; =22.63 кН

Узел O: ; = -16 кН.

; .

Узел C: ; = 11.31 кН.

; = -8 кН.

Узел A: ; = 11.31 кН.

; = 8 кН.

Узел K: ; = –8 кН.

; . =-8 кН

Данные расчёта в таблице:

Задача 2.

Найти реакции опор конструкции.

Дано: G = 10 кН P = 6 кН M = 8 кН∙м α = 45○	Решение Рассмотрим равновесную систему сил, приложенных к балке. Заменим связи их реакциями: шарнирно-неподвижную опору A заменим силами XA, YA, нить C заменим силой P, стержневую опору DB заменим силой RB, приложенной в точке D. Составляем уравнения равновесия: ; . (1)
XA, YA, RB –?

; . (2)

; . (3)

(1) = 1,72 кН.

(2) = 1,22 кН.

(3) = 2,78 кН

Задача 3.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую горизонтальную плиту весом G, при действии на неё вдоль AB силы .

Дано: G = 20 кН; P = 25 кН; a = 4 м; b = 5 м; c = 3 м; d = 1,5 м.

Найти: S_i –? 1≤ i ≤6.

Решение

Рассмотрим равновесную систему сил, действующих на плиту. Пусть все стержни растянуты, их реакции , , , , , направлены от углов. Введём углы α, β, γ, θ. Составляем 6 уравнений равновесия:

; ; (1)

; ; (2)

; ; (3)

; ; (4)

; ; (5)

; . (6)

Найдём синусы и косинусы углов:

; ; ; ;

; ; ; .

(2) = 42,69 кН;

(3) = 32,46 кН;

(1) = –29,47 кН;

(5) = –37,85 кН;

(4) = 39,36 кН;

(6) = 25,68 кН.

Задача 4.
Найти координаты центра тяжести плоской фигуры

Решение

Разобьём площадь фигуры отрезками LC, KM, SH, GQ по пять прямоугольников. Координаты центра тяжести будем искать по формулам:

; . (1)

Для фигуры 1 получаем:

F ₁ = 4 ∙ 2 = 8 см²; x ₁ = 8 – 2/2 = 7 см; y ₁ = 10 – 4/2 = 8 см.

Для фигуры 2:

F ₂ = 2 ∙ 6 = 12 см²; x ₂ = 6/2 = 3 см; y ₂ = 10 – 2/2 = 9 см.

Для фигуры 3:

F ₃ = 2 ∙ 8 = 16 см²; x ₃ = 2/2 = 1 см; y ₃ = 8/2 = 4 см.

Для фигуры 4:

F ₄ = 10 ∙ 2 = 20 см²; x ₄ = 2 + 10/2 = 7 см; y ₄ = 2/2 = 1 см.

Для фигуры 5:

F ₅ = 4 ∙ 2 = 8 см²; x ₅ = 12 – 2/2 = 11 см; y ₅ = 4/2 = 2 см.

Составляем таблицу:

По формулам (1) вычисляем координаты центра тяжести плоской фигуры:

= 5,25 см; = 4,25 см.

Задача 5.

По заданным уравнениям движения точки M установить вид её траектории и для момента времени t = t ₁ найти положение точки на траектории, её скорость, полное, касательное и нормальное ускорение, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке.

Дано: (1) t 1 = 1 c	Решение Уравнения движения (1) являются параметрическими уравнениями траектории точки M. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений движения. Тогда: .
v, w, w τ, w n, R –?

Это уравнение параболы.

Для определения скорости точки находим проекции скорости на оси координат:

(см/с); (см/с).

Модуль скорости точки

.

Аналогично проекции ускорения точки

(см/с²); (см/с²).

Модуль ускорения точки

= 8 см/с².

Координаты точки, её скорость, ускорение и их проекции на координатные оси для момента времени t = 1 с приведены в таблице.

Касательное ускорение равно:

;

.

При t = 1 с

= 7,49 см/с².

.

Нормальное ускорение точки:

= 2,84 см/с².

Радиус кривизны траектории в данной точке:

= 28,71 см/с².

Полученные значения w_τ, w_n и R также приведены в таблице.

Задача 6.

По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, вращательное и центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен S.

Решение

1) Найдём момент времени T, когда путь S, пройденный грузом равен 40 см:

(с)

Скорость груза равна: см/с

2) Угловая скорость звена 2: с^-1.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес:

с^-1.

Угловое ускорение 4 с^-2 – .

Скорость точки M: , и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3) Вращательное ускорение точки M: = 60 м/с² и направлено в сторону вращения колеса перпендикулярно радиусу колеса.

Центростремительное ускорение точки M: м/с².

Полное ускорение: .

Значения этих величин для момента времени приведены в таблице:

Задача 7.

Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек B и C.

Дано: OA = 25 см АВ = 80 см АС = 20 см = 1 с-1 = 2 с-2	Решение 1. Определение скоростей точек. Найдём скорость точки A: = 25 см/с. , . Мгновенный центр скоростей находится в точке , потому что она находится в точке пересечения перпендикуляров, проведённых из точек A и B к их скоростям. Угловая скорость звена AB: = 0,625 (с-1).
, , , –?

Скорости точек B и C:

86,6 (см/с).

= 106,8 (см/с).

.

2. Определение ускорений точек.

Ускорение точки складывается из вращательного и центростремительного ускорений:

.

= 50 см/с²; = 25 см/с².

По теореме об ускорениях точек плоской фигуры имеем:

или

где = 50 (см/с²).

Строим многоугольник ускорений. Относительно координатных осей получаем

.

Отсюда получаем: = 8,3 (см/с²);

0,195 (с^-2).

Аналогично для точки C:

или

где = 12,5 (см/с²).

= 3,9 (см/с²).

Значения этих величин для времени сведены в таблице

Задача 8.

Камень скользит в течение τ с по участку AB откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения камня f. Со скоростью AB и через T_C ударяется в т. C о вертикальную стенку.

Дано:	Решение Для ускоренно движущегося по плоскости AB тела характерно: ; (1) . (2)
α = 15○; L = 3 м
vB = 3 м/с; f = 0
τ = 1,5 с; d = 2 м
vA, h –?

Делим (1) на (2) и получаем:

= 4 – 3 = 1 м/с.

Для падающего с начальной скоростью v_B тела под углом к горизонту характерно:

; (3)

. (4)

(4) – (3) .

Получаем:

= 0,48 + 2,18 = 2,66 м

Задача 9.

Найти уравнение движения тела M массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы при заданных начальных условиях.

Дано:	Решение Дифференциальное уравнение движения точки M (второй закон Ньютона): . Решим это дифференциальное уравнение. Так как , то
m = 0,1 кг
z 0 = 200 м
= 0,1 м/с
z (t) –?

;

.

Так как , то

.

Постоянные интегрирования найдём из начальных условий:

;

.

Окончательно получаем

Задача 10.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя. Учитывая скольжение тела A, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, определить скорость тела A в момент, когда пройденный им путь станет равным S.

Дано: м м	Решение По теореме об изменении кинетической энергии системы: , где и – кинетическая энергия системы в конечном и начальном положениях. Пусть , тогда . Кинетическая энергия системы равна: , где – кинетическая энергия груза A. – кинетическая энергия груза A.
S –?

, .

– кинетич. энергия поступательного и вращательного движения барабана D.

, , .

Найдём сумму работ , приложенных к системе на заданном её перемещении:

,

где , , .

Тогда получаем:

Задачи

Задание С-1. Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы. К одному из узлов плоской фермы приложена сила Р. Определить реакции опор фермы (при помощи теоремы о равновесии трех непараллельных сил), а также усилия во всех ее стержнях способом вырезания узлов. Вес стержней не учитывать. Схемы ферм и необходимые для расчета данные приведены на рисунках.

Задание С-2. Определение реакций опор твердого тела. Найти реакции опор конструкции. Схемы конструкций представлены на рисунках (размеры – в метрах), нагрузки указаны в таблице.

Номер варианта задания	G	P	М,	q,		Номер варианта задания	G	P	М,	q,
кН	кН
									-
									-	0,5
										-
		-					-
	-						-			0,5
	-						-			0,5
	-						-
							-
							-			1,5
							-			0,5
	-			0,5			-
				-						2,5
							-
							-
										-

Задание С-3. Определение реакций стержней, поддерживающих прямоугольную плиту. Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую горизонтальную однородную плиту весом G, при действии на нее вдоль стороны АВ силы Р. Схемы конструкций показаны на рисунках, необходимые для расчета данные приведены в таблице.

Задание С-4. Определение положения центра тяжести тела. Найти координаты центра тяжести плоской фермы, составленной из тонких однородных стержней одинакового погонного веса (варианты 1 – 6), плоской фигуры (варианты 7 – 18 и 24 – 30) или объема (варианты 19 – 23), показанных на рисунках. В вариантах 1 – 6 размеры указаны в метрах, а в вариантах 7 – 30 – в сантиметрах.

Задание К-1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения. По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁(с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальнее ускорения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Необходимые для решения данные приведены в таблице.

Задание К-2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. Схемы механизмов показаны на рисунках, а необходимые для расчета данные помещены в таблицу.

Задание К-3. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении. Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С. Схемы механизмов помещены на рисунках, а необходимые для расчета данные приведены в таблице.

Задание Д-1. Движение тел в поле силы тяжести.

Варианты 1-5 (схема 1). Тело движется нз точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение с. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. В точке В тело покидает плоскость со скоростью v_B и попадает

со скоростью v_C в точку С плоскости BD, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α = 30°; v_A=0; f = 0,2; l = 10 м; β = 60°. Определить τ и h.

Вариант 2. Дано: α=15°; v_A = 2м/с; f = 0,2; h = 4м; β = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на участке ВС.

Вариант 3. Дано: α=30°; v_A = 2,5 м/с; f ≠ 0; l = 8 м; d = 10 м; β = 60°. Определить v_B и τ.

Вариант 4. Дано: v_A=0; τ = 2 с; l = 9,8 м; β = 60°; f = 0. Определить α и T.

Вариант 5. Дано: α = 30°; v_A=0; l = 9,8 м; τ = 3 с, β = 45°. Определить f и v_с.

Варианты 6-10 (схема 2). Лыжник подходит к точке А участка трамплина АВ, наклоненного под углом α к горизонту и имеющего длину l, со скоростью v_A. Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется τ с; в точке В со скоростью v_B он покидает трамплин. Через Т (с) -

лыжник приземляется со скоростью v_C в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: α = 20°; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м; β = = 30°. Определить l и v_C.

Вариант 7. Дано: α =15°; f = 0,1; v_A = 16 м/с; l = 5 м; β = 45°. Определить v_B и Т.

Вариант 8. Дано: v_A = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; v_B = 20м/с; β = 60°. Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α=15°; τ = 0,3 с; f = 0,1; h = 30√2 м; β = 45°. Определить v_B и v_A.

Вариант 10. Дано: α =15°; f = 0; v_A = 12 м/с; d = 50 м; β = 60⁰. Определить τ и уравнение траектории лыжника на участке ВС.

Варианты 11-15 (схема 3). Имея в точке А скорость v_A мотоцикл поднимается т с по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость v _n и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т (с) и приземляясь в точке С со скоростью v_c. Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m. При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: α = 30°; Р≠0; l = 40м; v_A = 0: v_B = 4,5м/с; d = 3 м. Определить τ и h.

Вариант 12. Дано: α = 30°; P=0; l = 40 м; v_B = 4,5 м/с; h =1,5 м. Определить v_A и d.

Вариант 13. Дано: α = 30°; m = 400 кг, v_A=0; τ = 20 с; d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30°; m = 400 кг; P = 2,2 кН; v_A = 0; l = 40 м; h = 5 м. Определить v_A и v_C.

Вариант 15. Дано: α = 30°; v_A = 0; P = 2 кН, l = 50 м; h = 2 м; d = 4 м. Определить T и m.

Варианты 16-20 (схема 4). Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с

горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость v_B, камень через Т (с) ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивленце воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: α = 30°; v_A = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2; d= 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: α = 45°; l =6 м; v_B=2v_A, τ = 1 c; h=6м. Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; v_A = 0; f = 0,1; d = 3 м. Определить h и τ.

Вариант 19, Дано: α =15°; l = 3 м; v_B=3 м/с, f ≠ 0; τ = 1,5 с; d = 2 м. Определить v_A и h.

Вариант 20. Дано: α = 45⁰, v_A = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4 м. Определить l и τ.

Варианты 21-25 (схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. Его начальная скорость v_A. Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ с тело в точке В со скоростью v_B покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью v_C, при этом оно находится в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α = 30⁰; f = 0,1; v_A = 1 м/с; τ = 1,5 с; h= 10 м. Определить v_B и d.

Вариант 22. Дано: v_A = 0; α = 45°; l =10 м; τ = 2 с. Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; v_A = 0; l = 9,81 м, τ = 2 с; h = 20м; Определить α и Т.

Вариант 24. Дано: v_A = 0; α=30°; f = 0,2; l = 10 м, d = 12 м. Определить τ и h.

Вариант 25. Дано: v_A=0; α =30⁰; а = 0,2; l = 6 м, h = 4,5м. Определить τ и v_C.

Варианты 26-30 (схема 6). Имея в точке А скорость v_A, тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью v_B тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью v_C, находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: v_A = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м. Определить d и v_C.

Вариант 27. Дано: v_A = 4 м/с, f = 0,1; τ = 2с; d = 2м. Определить v_B и h.

Вариант 28. Дано: v_B = 3 м/с; f=0,3; l= 3 м; h = 5 м. Определить v_А и Т.

Вариант 29. Дано: v_A = 3 м/с; v_B =1 м/с; l = 2,5 м; h=20м. Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м. Определить v_A и τ.

Задание Д-2. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящееся под действием переменных сил. Найти уравнения движения тела М массой m, принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы , при заданных начальных условиях. Во всех вариантах, где показана ось z, эта ось вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30. Необходимые для решения данные приведены в таблице.

Задание Д-3. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы. Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунках. Учитывая трение скольжения тела f (варианты 1 –3, 5, 6, 8 – 12, 17 – 23, 28 – 30) и сопротивление качению тела δ, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 – 9, 11, 13 – 15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s. В задании приняты следующие обозначения: m₁, m₂, m₃, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₂, r₂, R₃, r₃ — радиусы больших и малых окружностей; i_2x, i_3j —радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; α, β – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения; δ — коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные приведены в таблице. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

7. Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Теоретическая механика»

1. Предмет и задачи курса теоретической механики. Основные понятия теоретической механики.

2. Основные понятия статики.

3. Аксиомы статики.

4. Система сходящихся сил, силовой многоугольник, приведение сил к простейшему виду.

5. Геометрической условие равновесия плоской системы сил.

6. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

7. Проекция силы на ось.

8. Аналитическое определение равнодействующей сходящихся сил.

9. Элемент конструкции – ферма. Определение усилий в стержнях плоской фермы методом вырезания узлов и методом сечений.

10. Пара сил, действие пары на тело, алгебраический момент пары, момент пары как вектор.

11. Теорема об эквивалентности двух пар, лежащих в одной плоскости, следствия их теоремы.

12. Теорема о сложении пар. Теорема о переносе пар в параллельных плоскостях (без вывода).

13. Теорема о сложении пар, лежащих в пересекающихся плоскостях.

14. Приведение системы пар к простейшему виду. Условие равновесия пар.

15. Момент силы относительно точки, приведение силы к данному центру.

16. Приведение плоской произвольно расположенной системы сил к силе и паре.

17. Частные случаи приведения плоской системы сил.

18. Равновесие плоской системы сил, три формы равновесия.

19. Решение задач на равновесие плоской системы произвольно расположенных сил.

20. Пространственная система сходящихся сил. Многоугольник сил, параллелепипед сил. Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил.

21. Пространственная система произвольно расположенных сил. Приведение пространственной системы сил к простейшему виду, частные случаи приведения. Условия равновесия пространственной системы произвольно расположенной системы сил.

22. Момент силы относительно точки и оси.

23. Основные виды опор балочных систем.

24. Трение скольжения, угол трения. Равновесие сил при наличии трения.

25. Трение качения и верчения.

26. Центр параллельных сил, его свойство.

27. Центр тяжести твердого тела.

28. Способы определения координат центров тяжести некоторых тел.

29. Распределенные силы. Силы, равномерно распределенные вдоль отрезка прямой.

30. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по линейному закону. Силы, распределенные вдоль отрезка прямой по произвольному закону.

31. Силы, равномерно распределенные вдоль дуги окружности.

32. Векторный и координатный способы задания движения точки.

33. Естественный способ задания движения точки, формулы перехода от координатного способа к естественному способу задания движения.

34. Скорость точки при любом способе задания.

35. Ускорение точки при любом способе задания.

36. Частные случаи движения точки.

37. Законы поступательного движения тела.

38. Вращательное движение тела. Угловая скорость, угловое ускорение.

39.