V группа аксиом параллельности и её следствия

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 13Следующая ⇒

Эта группа состоит из одной аксио-мы, знаменитого 5-го постулата Эвкли-да, который гласит, что … в плоскости a через точку С проходит только одна прямая а¢, не пересекающаяся с данной прямой а.

Эта аксиома описывает отношение параллельности или равноудалённости элементов эвклидова пространства друг от друга, на основании которого выводятся понятия квадрата, парал-лелограмма, куба и параллелепипеда.

Определение 5.61. Параллельнос-тью называется такое отношение между элементами пространства оди-наковой или разной размерности, ко-торое характеризуется их равноуда-лённостью, а также отсутствием пе-ресекаемости и скрещиваемости ( рис.

5.79).

Параллельность тесно связана с перпендикулярностью и играет важную роль в формообразовании объектов пространства как систем. Эта связь оп-ределяется понятием равноудаленно-сти элементов друг от друга, т.е., кон-груэнтности кратчайших расстояний между их точками, измеряемых по на-правлению перпендикуляров или нор-малей.

Так как между параллельными пря-мыми угол 0°, а между перпендикуляр-ными 90°, то прямой угол является инструментом получения параллельно-сти.
Параллельность элементов в эв-клидовом пространстве исключает их пересекаемость, а значит, и общие для них действительные или собственные двойные элементы. Поэтому паралле-льность является не связью, а отно-шением, обладающим свойством вза-имности.

Две компланарные прямые а и b взаимно параллельны, если они равно-удалённы на всём их протяжении (рис. 5.84, п.2.1,2.1).

Две компланарные прямые а и b взаимно параллельны, если они пер-

Рис.5.85. Эквидистантные цилиндрические поверхности

пендикулярны к третьей компланарной с ними прямой с (рис.5.83, а).

Прямая а параллельна плоскости a,

если она перпендикулярна к прямой b, перпендикулярной к плоскости a (рис. 5.83, б).

Если плоскость a перпендикулярна одной стороне прямого линейного угла, то она параллельна второй его стороне.

Если прямые а, b, c, … перпендику-лярны к плоскости a, то они взаимно параллельны между собой (рис.5.83 ,в).

Если плоскости a и b перпендику-

к одной прямой а, то они взаимно параллельны (рис. 5.83, г).

Если плоскость b содержит прямую b, параллельную данной прямой а, то плоскость b параллельна прямой а (рис.

5.79, п. 3.1, 2.1).

Условие параллельности двух плоскостей:

Если две пересекающиеся прямые плоскости a соответственно паралле-льны двум пересекающимся прямым плоскости b, то плоскости a и b взаи-мно параллельны (рис 5.84, п. 3.1, 3.1).

Прямая а параллельна цилиндри-ческой поверхности Ф, если она парал-лельна её образующей b (рис.5.84, п..2.1,3.2).

Поверхность S параллельна пря-мой а, если её образующие b, … парал-лельны прямой а (рис.5.84, п. 3.2, 2.1).

Две компланарные кривые с и d взаимно параллельны, если на всём их протяжении они равноудалённы (рис. 5.84, п. 2.2, 2.2).

Две плоские некомпланарные кри-вые b и d параллельны, если плоскости их кривизн a и b параллельны, а сами линии b и d на всём их протяжении рав-ноудалённы (см. рис.5.84, п. 2.2, 3.1).

Параллельные кривые называются

эквидистантными. Частным случаем

эквидистантности является концентри-чность компланарных окружностей ра-зного радиуса, имеющих один общий центр.

Эквидистантные кривые не конгру-

энтны, так как имеют разную степень искривлённости и поэтому не могут быть совмещены движением.

Плоская кривая d параллельна пло-

скости a, если плоскость её кривизны b параллельна плоскости a.

Плоская кривая d параллельна ци-линдрической поверхности Ф, если она лежит в нормальной плоскости и экви-дистантна нормальному сечению b этой поверхности (рис.5.84, п. 2.2, 3.2).

Поверхность вращения S паралле-льна плоской кривой с, если её норма-

льное сечение b компланарно с прямой

с и эквидистантно ей.(рис.5.84, п.3.2, 2.2).

Две пространственные кривые m и n параллельны, если они эквидистант-ны, т.е., кратчайшие расстояния между их соответственными точками метриче-ски одинаковы (рис.5.84, п. 2.3, 2.3).

Пространственная кривая n парал-лельна поверхности вращения Ф, если её точки равноудалены от этой повер-хности по направлениям нормалей к ней (рис.5.84, п. 2.3, 3.2).

Поверхность S параллельна прост-ранственной кривой m, если она содер-жит эквидистантную ей линию n, явля-

ющуюся геометрическим местом осно-ваний тех нормалей к поверхности, ко-торые выделяются кривой m из их кон-груэнции (рис.5.84, п. 3.2, 2.3, где линия n на поверхности условно не показана)

Две соосные цилиндрические по-верхности всегда параллельны (рис. 5.89, п. 3.2, 3.2).

Две цилиндрические поверхности S и F общего вида параллельны, если они перпендикулярны к одной плоскос-ти a, а их сечения этой плоскостью эквидистантны (рис. 5.85).

Геометрическим местом концов конгруэнтных нормалей к поверхности Ф является поверхность S, эквидистан-тная поверхности Ф.

Сравнительный анализ рассмотрен-ных связей и отношений между эле-ментами эвклидова пространства, вы-текающих из пяти групп аксиом эвкли-довой геометрии, показывает, что наи-более важным или фундаментальным из них является отношение взаимной принадлежности, так как все осталь-ные отношения, которые связывают два элемента так, что порождается тре-тий, делает эти два элемента принад-лежащими общему для них третьему элементу.

Характерной конструктивной особен-

ностью всех рссмотренных связей явля-

Рис 5.86. Классификация позиционных задач

ется их взаимность, которая, будучи возведенной в принцип, расширяет воз-можности мысленного конструирования геометрических систем, взаимных дан-ным [88].

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8 91011 12 13 Следующая ⇒

Date: 2015-10-18; view: 327; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...

mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию