Примеры. 1. В пространстве куб и шар являются примерами выпуклых тел

1. В пространстве куб и шар являются примерами выпуклых тел. Отрезок,

плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не

выпуклые тела.

2. Рассмотрим множество C непрерывных на отрезке a, b функций и его под-

множество, удовлетворяющее условию . (Сами функции из

G вовсе не обязаны быть выпуклыми в обычном смысле.) Можно доказать, что

G — выпуклое тело.

Докажем утверждение из примера 2. Множество G — выпукло. Действительно, ес-

ли g, f G, то . При 0 имеем

Таким образом, отрезок, соединяющий точки g, f, также входит в множество G и,

следовательно, G — выпукло. Проверим, является ли это множество выпуклым

телом. Для этого необходимо и достаточно доказать, что J G

. Рассмотрим во множестве G функцию тождественно равную нулю. Покажем, что

и, следовательно, J G

. Действительно, рассмотрим и выражение

. Ясно, что при . Таким образом, G — выпуклое тело.

Теорема 1.5. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое мно-

жество.

Доказательство ясно.

Пересечение выпуклых тел, будучи выпуклым множеством, также будет выпуклым

множеством, но выпуклым телом может и не быть. Например, если рассечь куб в

трехмерном пространстве плоскостью, то обе части куба будут выпуклыми телами,

а само сечение — нет.