Изометрия

Пусть E, — два метрических пространства с расстояниями, соответственно,

d, . Тогда биективное отображение f: E, называется изометрией, если для

имеем

Если f: E, — биективное отображение, то в соответствии с определением биек-

тивности отношение y= f x функционально не только по y, но и по x, т. е. это

отношение определяет не только функцию E, , но и . Последнее отображение называется обратным к f и обозначается y. Оно само биективно. Если f — изометрия ,то тогда будет изометрией . Важность понятия изометрии заключается в том, что любая теорема, доказанная в E и в формулировке которой участвуют только расстояния между элементами E, немедленно дает соответствующую теорему в любом изометрическом пространстве E.

Если E, — два множества, причем E — метрическое пространство с расстояни-

ем d, то при наличии биекции множество также становится метриче-

ским пространством с индуцированным расстоянием . Говорят, что расстояние

перенесено в при помощи отображения f.

В теории метрических пространств удобен геометрический язык. В частности, эле-

менты метрического пространства часто называются точками.