VI. Множество комплексных чисел C

Любое комплексное число состоит из двух частей: действительной (a = Re z) и мнимой (b = Im z). Число i, с помощью которого расширяется множество R, называется мнимой единицей и определяется как число, квадрат которого равен -1.

Все ранее перечисленные числовые множества являются подмножествами множества C комплексных чисел.

N R Q Z J = C

Таким образом, что любое известное нам число является комплексным.

Примеры: ; ; ;

Действия с комплексными числами производятся по тем же правилам, что и с действительными числами.

Пример 1.

;

Пример 2.

.

Комплексные числа изображаются точками координатной плоскости. Вводятся следующие понятия.

Пусть некоторое комплексное число, тогда

1) – число, сопряженное числу z. Заметим, что ;

2) – модуль комплексного числа.

3) arg z = φ – аргумент комплексного числа z ≠ 0, угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим числу z, причем угол считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательным, отсчет ведется по часовой стрелке.

Заметим, что главные значения аргумента комплексного числа лежат на промежутке – π < arg z ≤ π.

Запись комплексного числа z в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа.

Действительная и мнимая части комплексного числа z = выражаются через его модуль = r и аргумент φ следующим образом: . Тогда комплексное число z можно записать в виде z = r(cos φ+i sin φ). Запись комплексного числа в таком виде называется тригонометрической формой записи.

Пример: Записать число z = 1 - i в тригонометрической форме.

Найдем модуль данного числа:

= r = = = .

Аргумент φ находим, решая систему , т.е. .

Таким образом φ = , а данное комплексное число в тригонометрической форме имеет вид z = 1 – i = .

На множестве С любое квадратное уравнение имеет два корня.

Пример: Решить уравнение на множестве комплексных чисел.

или

или .

Таким образом, уравнение на множестве C имеет ровно два различных комплексных корня .

1 уровень

9. На отрезке [0; 3] укажите два натуральных, два целых, два рациональных и два иррациональных числа.

10. На отрезке [2; 4] укажите два натуральных, два целых, два рациональных и два иррациональных числа.

11. Рациональным или иррациональным числом будет длина диагонали прямоугольника со сторонами 1 и 5?

12. Рациональным или иррациональным числом будет длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 7?

13. Укажите, какие из следующих чисел являются иррациональными: .

14. Укажите, какие из следующих чисел являются иррациональными: .

15. Запишите рациональные числа в стандартном виде:

а) 1268,13; б) – 43,1109; в) 0,004204; г) - 0,392; д) 0,000902; е) 233129; ж) 14,321.

16. Запишите рациональные числа в стандартном виде:

а) 345,7; б) – 29,1293; в) 0,00043; г) - 0,496; д) 0,0075; е) 44457; ж) 17,358.

17. Запишите в виде десятичной дроби:

а) ; б) ; в) ; г) .

18. Запишите в виде десятичной дроби:

а) ; б) ; в) ; г) .

19. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных периодических:

а) ; б) ; в) ; г) .

20. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных периодических:

а) ; б) ; в) ; г) .

21. Представьте периодические дроби в виде обыкновенных:

а) 0,(72); б) 0,(918); в) 0,(7263); г) 0,3(6) д) 0,11(6); е) 0,0(01).

22. Представьте периодические дроби в виде обыкновенных:

а) 0,(42); б) 0,(513); в) 0,(3584); г) 0,0(27) д) 0,2(35); е) 0,0(001).

23. Определите действительную (Re z) и мнимую (Im z) части комплексных чисел:

а) z = 1 + 3i; б) z = - 1 + 4i; в) z = - 6 - 5i; г) z =7 - i; д) z = 5i; е) z = 8.

24. Определите действительную (Re z) и мнимую (Im z) части комплексных чисел:

а) z = 6 + 2i; б) z = - 5 + 3i; в) z = - 3 - 8i; г) z = 6 - 3i; д) z = - 3i; е) z = - 5.

25. Найдите сопряженное () и противоположное (- z) числа для комплексных чисел:

а) z =1 + 3i; б) z = - 1 + 4i; в) z = - 6 - 5i; г) z =7 - i; д) z = 5i; е) z = 8.

26. Найдите сопряженное () и противоположное (- z) числа для комплексных чисел:

а) z = 6 + 2i; б) z = - 5 + 3i; в) z = - 3 - 8i; г) z = 6 - 3i; д) z = - 3i; е) z = - 5.

27. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

28. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

29. Найдите действительные числа x и y из уравнений:

а) (x – 8i) + (y - 3)i =1; б) (2x + y) + (x + 3y)i = 3 - i;

в) 2x – 5i + 7y + 2xi = - 7 - 5i; г) (3 + i)x – 2(1 + 4y) = 2 - i.

30. Найдите действительные числа x и y из уравнений:

а) (x + 2i) - (y + 2)i =3; б) (6x + y) + (3x - 4y)i = 8 - 5i;

в) 2x – 5yi – y + 3xi = 1 - 2i; г) (5 + i)x – 3(2 + 4y) = 6 + i.

31. Найдите сумму, разность и произведение комплексных чисел:

а) z₁ = - 3 - 5i, z₂ = 4 - 7i; б) z₁ = 3,6 + 0,2i, z₂ = 1,4 – 0,2i;

в) z₁ = - 1 + 3i, z₂ = 4 + 5i; г) z₁ = 1,5 – 2,1i, z₂ = 0,5 + 0,9i.

32. Найдите сумму, разность и произведение комплексных чисел:

а) z₁ = 4 - 2i, z₂ = 3 + 8i; б) z₁ = - 0,6 + 0,2i, z₂ = - 0,4 – 0,5i;

в) z₁ = 3 – 0,7i, z₂ = - 3 + 0,7i; г) z₁ = - 1 + 6i, z₂ = 6 - i.

33. Решите уравнения:

а) x² + 25 = 0; б) x² + 4 = 0;

в) x³ + 27 = 0; г) x³ – 27 = 0.

34. Решите уравнения:

а) x² + 9 = 0; б) x² + 16 = 0;

в) x³ + 8 = 0; г) x³ – 8 = 0.

2 уровень

35. Найдите значение выражений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

36. Найдите значение выражений:

а) ; б) ;

в) ; г) .

37. Докажите рациональность чисел:

а) ; б) .

38. Докажите рациональность чисел:

а) ; б) .

39. Выполните действия:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

40. Выполните действия:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

41. Решите уравнения:

а) (i – z)(1 + 2i) + (1- iz)(3 - 4i) =1+7i; б) ;

в) ; г) .

42. Решите уравнения:

а) (2 i + z)(3 - i) + (4 + iz)(1 - 2i) = 11+3i; б) ;

в) ; г) .

43. Найдите модуль и главное значение аргумента для каждого из заданных комплексных чисел. Записать эти числа в тригонометрической форме и изобразить их точками на плоскости:

а) z = ; б) z = - 2i; в) z = 10; г) z = - 1 – i; д) .

44. Найдите модуль и главное значение аргумента для каждого из заданных комплексных чисел. Записать эти числа в тригонометрической форме и изобразить их точками на плоскости:

а) z = - 2 +2i; б) z = 5i; в) z = -7; г) z = 1 – i; д) .

3 уровень

45. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

46. Вычислите:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

47. Изобразите множество точек, для которых выполняется заданное условие:

а) Re z = - 2; б) – 1 < Re z £ 3; в) – 1 £ Im z < 3; г) ;

д) | z | < 2; е) | z + i | = 5; ж) 1 £ | z + 1 | < 2,5; з) | z +3 i | = | z - 3 |.

48. Изобразите множество точек, для которых выполняется заданное условие:

а) Re z = 3; б) – 2 £ Re z < 3; в) – 5 < Im z £ 6; г) ;

д) | z | > 3; е) | z -2 i | = 3; ж) 1 < | z + 1 | £ 3; з) | z + 5i | = | z + 5 |.

49. Решите уравнения на множестве комплексных чисел:

а) ; б) ;

в) ; г) .

50. Решите уравнения на множестве комплексных чисел:

а) ; б) ;

в) ; г) .

51. Решите системы уравнений на множестве комплексных чисел:

а) ; б) .

52. Решите системы уравнений на множестве комплексных чисел:

а) ; б) .