Примеры конкретных распределений

В зависимости от вида распределения (для дискретных случайных величин) или плотности распределения (для непрерывных случайных величин) получаем то или иное конкретное распределение.

Биномиальным распределением называется распределение конкретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений некоторого события А при проведении n независимых опытов, когда в каждом опыте вероятность появления события одинакова и равна .

Закон распределения случайной величины Х в виде ряда распределения определяется по известной нам формуле Бернулли:

().

Характер биномиального распределения зависит от значений р и n, т.е. р и n являются параметрами биномиального распределения.

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биномиальному закону, определяется так:

,

.

Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то пользуются приближенной формулой:

,

где m – число появлений события в n независимых испытаниях;

- среднее число появлений события в n испытаниях.

Это распределение называется распределением Пуассона. Оно зависит от одного параметра а. Числовые характеристики этого распределения определяются следующим образом:

т.е. .

Закон Пуассона описывает также распределение числа появлений какого-либо события в течение заданного промежутка времени, если известно среднее число появлений события в единицу времени и события появляются независимо друг от друга. Рассмотрим этот случай подробнее.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью.

Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления m событий за промежуток времени длительностью t есть функция, зависящая только от m и t.

Свойство «отсутствия последействия» состоит в том, что вероятность появления m событий в любом промежутке времени не зависит от того, появились или не появились события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Другими словами, предыстория потока не влияет на вероятности появления событий в ближайшем будущем.

Свойство ординарности состоит в том, что появление двух или более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события за малый промежуток времени пренебрежимо мало по сравнению с вероятностью появления только одного события.

Распределение такого потока может быть описано законом Пуассона:

Здесь – вероятность появления ровно m событий в течении промежутка времени длиной l. Величина а есть среднее число событий, происходящих за тот или иной промежуток времени.

Величина представляет собой среднее число событий, появляющихся в единицу времени, или среднюю скорость появления событий.

Величина λ называется параметром потока событий или интенсивностью потока событий.

Потоки событий, удовлетворяющие условиям 1, 2, 3, имеют место в теории массового обслуживания.

Теория массового обслуживания изучает так называемые системы массового обслуживания. Примерами таких систем могут быть телефонные станции, ремонтные мастерские, справочные бюро, магазины, промышленные предприятия, отдельные участки, цеха, станки и т.д.

Работа любой системы массового обслуживания состоит в выполнении поступающего на нее потока требований (заявок). Заявки поступают одна за другой в некоторые случайные моменты времени. Если поток заявок распределен по закону Пуассона, то, определив среднее число заявок в единицу времени, можно найти вероятность поступления m заявок в единицу времени Δt. Тем самым можно определить, например, оптимальное количество обслуживающих единиц.

Закон Пуассона иногда называют «законом редких явлений».

Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения Х, дифференциальная функция сохраняет постоянное значение, т.е.

Кривая распределения имеет вид

Числовые характеристики:

; .

Нормальный закон характеризуется плотностью распределения вида

.

Кривая нормального распределения имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой имеет место в точке и равна .

По мере удавления от точки плотность распределения падает и при кривая асимптотически приближается к кривой абсцисс.

Параметры m и σ, входящие в выражение плотности нормального распределения, имеют определенный смысл: m есть не что иное, как математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х, а σ – ее среднее квадратическое отклонение.

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается дифференциальной функцией:

где λ – постоянная положительная величина.

График кривой распределения имеет вид:

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:

; ; .

Вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в заданный интервал (α, β) определяется по следующим формулам:

Здесь

Ее значения определяются по таблице.

Примечание: если для показательного распределения то надо положить ; если для равномерного распределения , то надо взять ; если , то брать . Если в равномерном распределении , то

В математической статистике, которая будет изучаться в последующих разделах курса, широко используется для проверки гипотез и оценки неизвестных параметров распределения целый ряд статистических критериев, построенных на основе распределений (для этих распределений имеются стандартные таблицы во многих учебниках и руководствах).

2.3. Нормированное нормальное распределение (z).

Если Х – нормально распределенная случайная величина с параметрами m и σ, то величина также распределена нормально с параметрами и (кратко обозначают ).

Плотность нормированного нормального распределения:

Кривая плотности распределения имеет вид:

2.4. Распределение К.Пирсона ( )

Если – нормально распределенные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них , а среднее квадратическое значение , то сумма квадратов этих величин распределена по закону («хи»-квадрат) с степенями свободы, где z – число связей, наложенных на величины _.

Например, если величины связаны одним линейным соотношением , то число степеней свободы .

График плотности распределения закона для различных чисел степеней свободы имеет вид:

2.5. Распределение Стьюдента (t)

Если z – нормально распределенная случайная величина, причем и , а – независимая от z величина, которая распределена по закону с f степенями свободы, то величина

имеет распределение Стьюдента с f степенями свободы.

Распределение t определяется одним параметром – числом степеней свободы f.

С увеличением числа степеней свободы распределение быстро приближается к нормальному.

График плотности распределения t для имеет вид:

2.6. Распределение Фишера ( F )

Если и - независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы f₁ и f₂, то величина

имеет распределение, называемое распределением Фишера со степенями свободы f₁ и f₂.

Распределение F определяется двумя параметрами – числами степеней свободы f₁ и f_{2 .}

График плотности распределения F для чисел степеней свободы f₁ и f₂ представлен на рисунке:

Задача 2.3. По заданным параметрам распределений записать плотности распределений, построить кривые распределений, найти числовые характеристики, определить вероятность попадания значений случайной величины в интервал (α, β), т.е. :

а) нормальное распределение: , кратко обозначают N (-6, 3).

Плотность нормального распределения

.

Кривая нормального распределения симметрична относительно прямой , максимальное значение достигается при и равно

Точки перегиба:

;

Кривая нормального распределения (кривая Гаусса) имеет вид:

Определим теперь вероятность попадания значений случайной величины в заданный интервал (-1; 2):

Это площадь заштрихованной области под кривой Гаусса от Х =-1 до Х =2.

Зная параметры, легко найти числовые характеристики:

; ;

б) показательное распределение: λ =1.6

Плотность показательного распределения для

.

Кривая плотности распределения имеет вид:

Определим Р (-1<х<2). Так как для х <0 f (х)=0, то надо взять интервал (0;2)

(площадь заштрихованной области).

Числовые характеристики этого распределения

;

в) равномерное распределение: а =-5; b =5.

Плотность равномерного распределения:

Кривая плотности:

.

Числовые характеристики:

; .