Законы распределения и числовые характеристики случайных величин

Случайные события являются качественной характеристикой исходов опыта. Количественной характеристикой исходов опыта являются случайные величины. Под случайной величиной понимают множество (совокупность) возможных ее значений, каждое из которых может стать исходом предстоящего опыта, результат которого нельзя предсказать.

Случайные величины разделяют на два класса: дискретные и непрерывные. Дискретной случайной величиной называют величину, которая принимает отдельные, изолированные значения. Значения такой величины можно перечислить, т.е. между соседними значениями есть пустоты. Непрерывной случайной величиной называют величину, которая сплошным образом заполняет некоторый промежуток. Число принимаемых значений такой величины бесконечно.

Случайные величины обозначаются последними большими буквами латинского алфавита: или ; ; …, а возможны значения соответствующими малыми буквами: ; и т.д.

Например, опыт – одно бросание монеты. Случайные события: А – появление герба, В – появление надписи. Случайная величина – Х – число появление герба, ее значения (появление герба), (непоявление герба).

Если проводится несколько опытов, то в результате каждого опыта случайная величина Х примет одно из своих возможных значений , т.е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

.

Обозначим соответствующие формулы вероятности _.

Так как эти события образуют полную группу несовместных событий, то:

,

т.е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.

Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями случайной величины. Полностью описывается случайную величину, если указано с какой вероятностью она принимает каждое конкретное значение.

Тем самым задают закон распределения случайной величины.

Итак, законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Основными формами закона распределения являются:

Для дискретных величин – ряд распределения и функция распределения;

Для непрерывных случайных величин - функция распределения и плотность распределения.

Таблица, в которой перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

называется рядом распределения дискретной случайной величины Х.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольников распределения.

Вероятность того, что , где х – некоторая текущая переменная, называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается , т.е. . Ее называют также интегральным законом распределения. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от до , вычисляется по формуле:

.

Введем обозначение

Функция - производная функции распределения – характеризует плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке и называется плотностью распределения случайной величины и ее дифференциальным законом распределения.

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Величина называется элементом вероятности. Геометрически – это площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на элемент dx

Выразим теперь вероятность попадания величины х на некоторый интервал от α до β через плотность распределения:

.

Геометрически эта вероятность равна площади под кривой, опирающейся на интервал (α, β).

Однако для решения многих задач практики нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, исчерпывающим образом.

Такие характеристики, назначение которых выразить в сжатой форме существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

Из характеристик важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением. Математическое ожидание ( или ) вычисляется по формулам:

Как следует из приведенных формул, под математическим ожиданием понимают среднее взвешенное значение случайной величины. Здесь весом является вероятность появления этого события. Таким образом, математическое ожидание – это центр, относительно которого разбросаны остальные значения случайной величины.

Наиболее общими числовыми характеристиками являются моменты. Начальным моментом S -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

.

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом S -го порядка называется интеграл:

.

Очевидно, что введенная характеристика положения – математическое ожидание представляет собой первый начальный момент случайной величины Х.

Центральным моментом S -го порядка называется математическое ожидание S -й степени отклонения значения случайной величины от своего математического ожидания:

.

Для дискретной случайной величины S -й центральный момент выражается сумой:

.

Для непрерывной случайной величины S -й центральный момент выражается интегралом:

,

– плотность распределения случайной величины Х. Центральный момент первого порядка равен нулю:

.

Важнейшую роль в практических приложениях играет второй центральный момент:

для дискретной случайной величины и:

для непрерывной случайной величины.

Легко показать, что:

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Для этого чаще всего применяют случайные обозначения: .

Итак,

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание». Чем больше дисперсия случайной величины, тем больше разброс ее значений относительно математического ожидания.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. Часто бывает удобно для характеристики рассеивания пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень.

Полученная величина называется средним квадратическим (или стандартным) отклонением случайной величины

Задача 2.1. В группе из 3-х изделий имеется бракованное. Наугад отбирают 2 изделия. Построить ряд распределения вероятностей числа годных изделий среди отобранных; функцию распределения; найти числовые характеристики.

Решение. Х – число годных изделий среди отобранных; возможные значения Х = {1;2}. Соответствующие вероятности:

; .

Проверка:

Запишем ряд распределения:

Построим функцию распределения, задавая значение Х:

,

,

,

Построим график :

Определим числовые характеристики случайной величины:

.

Задача 2.2. Функция имеет вид

Найти плотность распределения вероятностей, построить графики и ; найти числовые характеристики: определить .

Решение:

.

,

или