Автокорреляция отклонений (остатков)

Как уже отмечалось, одной из предпосылок МНК является независимость отклонений e = y – друг от друга. Если же это условие нарушено, то говорят об автокорреляции остатков. Причин возникновения автокорреляции остатков может быть несколько. Выделим среди них следующие:

1) в регрессионную модель не введён значимый факторный признак и его изменение приводит к закономерному изменению остаточных величин;

2) в регрессионную модель не включено несколько незначимых факторов, но их изменения совпадают по направлению и фазе и суммарное воздействие приводит к закономерному изменению остатков;

3) не верна спецификация уравнения регрессии. При автоматизации вычислительных работ исключим случай ошибок при вычислении оценки коэффициентов регрессии и укажем лишь на одну из возможных причин неправильной спецификации – не верно выбран вид зависимости между анализируемыми переменными;

4) автокорреляция остатков может возникнуть не в результате ошибок, допущенных при построении регрессионной модели, а вследствие особенностей внутренней структуры случайных компонент (например, при описании регрессией динамических рядов).

Следовательно, необходимо при анализе точности уравнения регрессии уметь определять наличие или отсутствие автокорреляции в остатках.

Разработано несколько методов проверки на автокорреляцию остатков. Большинство статистических пакетов прикладных программ используют метод Дарбина – Уотсона. Опишем его. Он основан на гипотезе о существовании автокорреляции между соседними членами ряда остатков. Этот критерий использует статистику

Предполагая, что (при достаточно больших n это так) получим

или

Вычитаемая из единицы дробь равна коэффициенту автокорреляции для переменной e_i и, следовательно, равна нулю, если автокорреляция отсутствует (тогда d» 2), и равна ± 1 при полной автокорреляции (тогда d» 0 при положительной автокорреляции и d» 4 – при отрицательной).

Для d-статистики найдены критические границы (d_u – верхняя и d_l – нижняя), позволяющие принять или отклонить гипотезу об отсутствии автокорреляции при фиксированном уровне значимости , числе независимых переменных m и объёме выборки n.

Область принятия и непринятия гипотезы об отсутствии автокорреляции в остатках графически может быть изображена в таблице 9.2.

Таблица 9.2 – Область принятия гипотезы, области неопределённости и непринятия гипотезы для критерия Дарбина – Уотсона

0 d_l d_u 4-d_u 4-d_l 4

Если вычисленное значение d-статистики попало в область неопределённости критерия, то это означает, что нет статистических оснований ни отклонить, ни принять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. В этом случае при необходимости можно использовать какой-либо иной критерий или для большей точности увеличить объём выборки.

Если с помощью критерия Дарбина – Уотсона обнаружена существенная автокорреляция остатков, то необходимо признать наличие проблемы в определении спецификации уравнения и либо вернуться к набору включаемых в уравнение регрессий переменных, либо к форме регрессионной зависимости. При анализе с помощью регрессии рядов динамики уменьшение автокорреляции в остатках может дать включение времени как факторной переменной в регрессию.