Парная линейная корреляция

Корреляционным анализом называется совокупность приёмов, с помощью которых исследуются и обобщаются взаимосвязи корреляционно связанных величин. В отличие от естественных наук, в социально-экономическом анализе редко встречаются функциональные связи, здесь взаимосвязи проявляются лишь в общем и среднем, при рассмотрении совокупности явлений в целом, а не отдельных её элементов. Как известно, корреляционная связь заключается в изменении вида распределения, а следовательно, среднего значения одной величины при изменении значения другой. Мерой тесноты линейной корреляционной связи служит коэффициент корреляции Пирсона. Для двух случайных величин x и y он определяется из соотношения

,

где суммирование ведётся по всем возможным значениям случайных величин x и y, а m_x и m_y, соответственно, ожидаемые значения величин x и y. Оценкой коэффициента парной (простой) линейной корреляции служит выборочный коэффициент парной корреляции:

,

где – выборочные средние величины для x и y, а суммирование ведётся по всем элементам выборки. После несложных преобразований можно получить вычислительный вариант этой формулы:

.

Известно, что – 1 £ £ 1.

При > 0 имеем прямую корреляционную связь – с ростом значения одной переменной растёт среднее значение другой, а при < 0 – обратную – с ростом значения одной переменной среднее значение другой убывает. Если ρ = 0, то это означает отсутствие линейной корреляционной связи, а если ρ = ± 1, то это означает наличие между переменными линейной, функциональной связи: прямой в случае (+ 1) и обратной в случае (– 1).

Оценивая значение коэффициента корреляции по выборочным данным, мы должны быть уверены в надёжности такой оценки. Обычно это осуществляется с помощью проверки гипотезы H₀: = 0 на основе критерия Стьюдента: с n – 2 степенями свободы. При компьютерных расчётах вместе с оценками коэффициентов корреляции обычно рассчитываются и уровни значимости для статистик Стьюдента для таких оценок. Если расчётное значение уровня значимости или р-величина для какого-либо выборочного коэффициента корреляции окажется больше фиксированного уровня, например 0,05, то гипотеза H_o не отклоняется, и в этом случае говорят, что коэффициент корреляции не значимо отличен от нуля и линейная корреляционная связь между соответствующими переменными отсутствует. В противном случае говорят, что коэффициент корреляции значимо отличен от нуля, что означает наличие линейной корреляционной связи между соответствующими переменными.

Для качественной интерпретации значений коэффициентов парной линейной корреляции (в случае их значимого отличия от нуля) используют шкалу Чеддока: