Основные характеристики систем массового обслуживания

Входящий поток – это поток требований, нуждающихся в

обслуживании и поступающих в обслуживающую систему. Поток требований может быть детерминированным или случайным. Детерминированный поток предполагает, что заявки в систему МО поступают через равные промежутки времени. Случайный поток требований предполагает, что требования в систему МО прибывают случайно, так что их поступления нельзя предсказать точно, но можно оценить на основе известного закона распределения вероятностей.

Для математического описания процесса поступления заявок в систему МО успешно применяется аппарат, разработанный для марковских случайных процессов. В марковских случайных процессах будущее развитие системы зависит только от настоящего состояния и не зависит от предыстории процесса. Кроме того, в дальнейшем будем предполагать, что поступления заявок в систему МО описывается случайным процессом с дискретным состоянием, т.е. возможные состояния системы можно перенумеровать, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком (мгновенно), в случайные моменты времени. Можно показать, что вероятности состояний для системы МО в этих предпосылках могут быть описаны распределением Пуассона. Пусть r – число прибытий требований в систему МО в единицу времени (мин, час, сутки и т.д.). Тогда вероятность того, что в системе МО будет находиться r требований будет равна:

для r = 0, 1, 2, 3,...,

где λ – среднее число требований, прибывающих в систему за единицу времени или средняя интенсивность входящего потока;

1/ λ – среднее время между заявками.

Как известно, распределение Пуассона – это дискретное распределение, для которого математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны λ, т.е. а = σ² = λ. На рисунке 8.2 показано распределение Пуассона для λ = 2 и 4. Как видим, при средней интенсивности, равной двум требованиям в час, примерно в 13% случаев за час не поступит ни одного требования, в 27% – два требования, в 9% – около 4 требований и т.д. и практически нет шансов, что в систему за час поступит более восьми требований.

Рисунок 8.2 – Распределение Пуассона для λ = 2 и λ = 4

Следует отметить, что прибытия требований в систему МО не всегда следуют пуассоновскому распределению, и поэтому каждый раз необходимо это проверять на основе статистической проверки гипотезы о законе распределения.

Выходящий поток – это поток требований, покидающий обслуживающую систему. Процесс обслуживания заявок зависит от свойства и типа системы МО, в том числе подобно характеру прибытия, этот процесс может быть детерминированным или случайным. Детерминированный характер обслуживания, как правило, предусматривает обслуживание требований автоматическими устройствами (банкоматы в банках, автоматические автомобильные мойки и пр.), но наиболее часто время обслуживания предполагается распределенным случайно.

Во многих случаях предполагается, что случайное время обслуживания описывается отрицательным экспоненциальным или показательным распределением вероятностей. Известно, что это предположение математически оправдано, если интенсивность входящего потока описывается пуассоновским распределением. В отличие от последнего, показательное распределение является непрерывным и имеет вид:

P (T > t) = e ^{- μ t}, для t ≥ 0,

где P (Т > t) – вероятность того, что время обслуживания будет больше t мин;

μ – средняя интенсивность обслуживания;

1/ μ – среднее время обслуживания.

Величина μ называется параметром показательного закона распределения. Известно, что а = σ = 1/μ.

Рисунок 8.3 – Два примера экспоненциального распределения

времени обслуживания

Как видно на рисунке 8.3, если время обслуживания следует показательному распределению, то вероятность более длительного времени обслуживания убывает. Так, если среднее время обслуживания одного требования равно 20 мин, то очень редко требование будет обслуживаться 90 мин, а если среднее время обслуживания равно 1 час, то вероятность обслуживания более 3 часов практически равна нулю.

Как и в случае с пуассоновским распределением, показательное распределение необходимо статистически подтверждать, если оно используется в практических расчётах.

Для многофакторных систем МО выходящий поток описывается распределением Эрланга с функцией плотности распределения

,

где t – время обслуживания;

k – число фаз обслуживания;

μ – средняя интенсивность обслуживания.

В многофазной системе МО предполагается, что все k фаз имеют одинаковое экспоненциальное распределение времени обслуживания со средним, равным 1/kμ, а объединённая функция распределения имеет среднее, равное 1/μ и дисперсию 1/kμ².

Заканчивая обсуждение основных характеристик систем МО, отметим, что системы МО подразделяются на системы с бесконечной очередью и с конечной очередью. В зависимости от этого, операционные характеристики системы МО рассчитываются, исходя из разных соотношений. Трудно себе представить реальную систему МО с бесконечной очередью, но, учитывая простоту их математического описания, здесь они будут рассмотрены. Более реальны системы МО с ограниченной очередью. Очередь может быть ограничена либо наличием свободных мест, либо временем ожидания.

Кроме этого, системы МО различаются мощностью источника заявок. Размер источника заявок может быть конечным и бесконечным. Например, источник, формирующий заявки на обслуживание посетителей в магазине, парикмахерской можно считать практически бесконечным. В этом случае поступившая заявка никак не повлияет на вероятность появления очередной. В противном случае (источник конечной ёмкости) поступление очередной заявки снижает частоту поступления очередных. Такие системы называются замкнутыми системами МО.