Задача оптимального размещения производства

Эта задача сводится к однопродуктовой задаче перспективного планирования, когда наличных мощностей предприятий по производству продукции недостаточно для удовлетворения спроса потребителей. Это требует ввода новых мощностей за счёт капитального строительства или реконструкции. Обычно существует несколько вариантов строительства и реконструкции, отличающихся по производственной мощности, местоположению, уровню инвестиционных вложений и других показателей. Экономико-математическая модель задачи позволяет одновременно решать задачу оптимального закрепления потребителей к поставщикам и задачу выбора оптимального варианта размещения производства.

Обозначим через А_i производственную мощность i-гo предприятия, причём в число поставщиков входят как действующие, так и различные варианты проектируемых. Будем предполагать, что если предусматривается возможность реконструкции, то мощность до реконструкции показывается в модели отдельно от мощности, получаемой дополнительно за счёт реконструкции. В_j – спрос j-гo потребителя.

Для формирования целевой функции задачи должны быть известны С_i – себестоимость производства единицы продукции на i-м предприятии; k_i – капитальные затраты на единицу продукции на i-м предприятии при строительстве или реконструкции; С_ij – транспортные расходы по доставке единицы продукции от i-гoпредприятия к j-му потребителю.

В целом решение данной задачи должно обеспечить определение наилучших вариантов размещения предприятий и перевозок продукции, при которых достигается минимум суммарных затрат на производство и транспортировку продукции и инвестиционных вложений в создание новых мощностей или расширение действующих. Математическая модель задачи имеет вид:

; (4.32)

; (4.33)

; (4.34)

Задача (4.32) – (4.34) является открытой моделью транспортной задачи. Так как в число поставщиков включены различные варианты прироста производственных мощностей, превышающие суммарную потребность, суммарная мощность поставщиков в модели превышает общую величину спроса. Модель задачи приводится к закрытой введением фиктивного потребителя. Ясно, что поставщиков, которые в оптимальном плане прикрепились к фиктивному потребителю, использовать нерационально.

Решение такой задачи называется целочисленным, если мощности предприятий целиком прикрепились к реальным или фиктивному потребителям. Если же часть мощности предприятия прикрепляется к реальным, а часть к фиктивному потребителям, то решение будет нецелочисленным. В оптимальный план рекомендуется включать те предприятия, большая часть мощности которых относится к реальным потребителям.

Пример 4.1. Дневная производительность двух кирпичных заводов А₁ и А₂ – 100 и 150 тыс. шт. кирпичей. Планируемая потребность составляет у потребителя B₁ – 100, В₂ – 80, В₃ – 200 тыс. шт. Проектами предусмотрено два варианта увеличения производственных мощностей – реконструкция завода А₁ и строительство нового завода А₃. Дана матрица транспортных затрат:

Себестоимость продукции на действующих заводах С₁ = 5, C₂ = 4. Себестоимость после реконструкции С₁ = 4. Себестоимость на новом заводе С₃ = 2. Удельные капитальные затраты заданы: Еk₁ = 6, Еk₃ = 8. Определить оптимальный вариант прироста мощностей и план перевозок.

Решение. Производственно-транспортные затраты на действующих предприятиях складываются из затрат на производство и доставку единицы продукции С_i + C_ij.Для вариантов строительства и реконструкции к этим затратам добавляются удельные капитальные затраты с учётом нормативного коэффициента эффективности: С_i + C_ij + Е ∙ К_i.

С учётом вышеизложенного получаем матрицу приведённых затрат:

Далее решается открытая транспортная задача по методу потенциалов. После трёх итераций получаем оптимальное решение. Полученное решение целочисленное. Z_min = 2880. Выбирается вариант строительства, т.к. вариант реконструкции А₁ полностью прикрепился к фиктивному потребителю. Оптимальное решение представлено в таблице 4.3.

Таблица 4.3 – Оптимальное решение задачи

Optimal Solution Total Cost = 2880.00

Number of iterations = 3