Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном давлении

Уравненеия равновесия жидкости

Для вывода уравнений равновесия жидкости выделим в покоящейся жидкости бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy и dz (рис) На параллелепипед действуют силы гидростатического давления и массовые силы. На грани площадью dydz будут действовать средние гидростатические давления р_х и p_х+(¶p_х/¶x)dx, где (¶p_х/¶x) частная производная р_х по х.На другие грани, по аналогии, будут действовать средние гидростатические давления:

p_у и p_у+(¶p_у/¶у) dу; p_у и p_z+(¶p_z/¶z)dz

Равнодействующую массовых сил обозначим G, ее проекции на координатные оси, отнесен-ные к единице массы, обозначим X, Y и Z. Сумма проекций всех сил на ось х имеет вид.

p_x dy dz – (р_х и p_х+(¶p_х/¶x)dx) dydz + Xrdx dy dz = 0

Проекции на оси_у и z имеют аналогичный вид.

После преобразования: (¶p_у/¶у) + Xr= 0, а разделив обе части равенства на плотность жидкости r, получим уравнения равновесия жидкости в общем виде:

X - 1/р * ¶p_х / ¶x = О

Y - 1/р * ¶p_у/¶у = О

Z- 1/p*(¶p_z/¶z)= 0

Истечение жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном давлении.

Представим на рис. сосуд, наполненный жидкостью до уровня 1—1. Введем обозначения:

W — площадь горизонтального сечения сосуда; в общем случае, когда сосуд нецилиндрический,

W=f₁(H)

Q — расход жидкости, вытекающей через отверстие(или насадок)

Q=µ₀ⱳ =f₂(H)

Qn — расход жидкости, поступающей в сосуд; вообще расход Q_n может изменяться с течением времени t

Q_n= f(t) (2.3)

однако здесь ограничимся рассмотрением только частного случая, когда Q_n = const.

Если Q_n > Q_f то сосуд будет наполняться и уровень жидкости в нем должен подниматься до тех пор, пока не получим равенство Q_n =Q.

Если Q_n < Q, то уровень жидкости в сосуде будет опускаться, пока не получим такое H, при котором Q_n = Q

через отверстие (или

Рис.Истечение жидкости в атмосфер у при переменном напоре

Рассмотрим случай, когда Q_n < Q, и найдем время t, в течение которого горизонт жидкости опустится до положения 2—2. При решении этой задачи рассуждаем следующим образом. За бесконечно малый отрезок времени dt из сосуд а вытекает объем жидкости

Q dt=µ₀ⱳ dt

За этот же отрезок времени dt в сосуд поступает объем жидкости Q_п dt

Изменение объема жидкости в сосуде (dv) можно представить двумя разными зависимостями: с одной стороны.

dV = Q_rdt- µ₀ⱳ dt

с другой же стороны,

dV = WdH

где объемWdH показан на чертеже штриховкой.

Получаем следующее дифференциальное уравнение:

Q_rdt- µ₀ⱳ dt=WdH

Разделив переменные, имеем

dt= dH (2.9)

Наконец, интегрируя(2.9)

в пределах от Н₁ до Н₂, получаем искомое время:

(2.10)

В общем случае, когдаW≠ const (сосуд нецилиндрический), величина t по формуле (2.10) может быть вычислена методом конечных разностей.

В частном случае, когда Q_n=0 и W = const (сосуд цилиндрический), зависимость (2.10) упрощается и получает вид:

(2.11)

Время t₀ полного опорожнения сосуда до уровня 3—3 (при Q_n=0 и W = const) получится, если в (2.11) подставим Н₂=0:

Где Q₁ – расход жидкости при H₁, t – время полного опорожнения сосуда, если предположить, что из сосуда в течении всего периода опоожнения вытекает постоянный расход жидкости, равный Q_1.