Теоретические основы метода

Метод статистического моделирования (или метод Монте-Кар­ло) - это способ исследования поведения вероятностных систем (экономических, технических и т. д.) в условиях, когда не известны в полной мере внутренние взаимодействия в этих системах.

Этот метод заключается в воспроизведении исследуемого физи­ческого процесса при помощи вероятностной математической модели и вычислении характеристик этого процесса. Одно такое воспроизведение функционирования системы называют реализацией или испытанием. После каждого испытания регистрируют совокупность параметров, характеризующих случайный исход реализации. Метод основан на многократных испытаниях построенной модели с последующей статистической обработкой полученных данных с целью определения числовых характеристик рассматриваемого процесса в виде статистических оценок его параметров. Процесс моделирования функционирования экономической системы сводится к машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на ЭВМ со всеми сопровождающими его случайно­стями.

Первые сведения о методе Монте-Карло были опубликованы в конце 40-х гг. Авторами метода являются американские математи­ки Дж. Нейман и С. Улам. В нашей стране первые работы были опубликованы в 1955-1956 гг. В.В. Чавчанидзе, Ю.А. Шрейдером и B.C. Владимировым.

Основой метода статистического моделирования является за­кон больших чисел. Закон больших чисел в теории вероятностей доказывает для различных условий сходимость по вероятности средних значений результатов большого числа наблюдений к неко­торым постоянным величинам.

Под законом больших чисел понимают ряд теорем. Например, одна из теоремЛ.Л. Чебышева формулируется так: "При неограни­ченном увеличении числа независимых испытаний n среднее арифметическое свободных от систематических ошибок и равноточных результатов наблюдений случайной величины , имеющей ко­нечную дисперсию D (), сходится по вероятности к математичес­кому ожиданию М () этой случайной величины». Это можно запи­сать в следующем виде:

, (2.1)

где - сколь угодно малая положительная величина

Теорема Бернулли формулируется так: "При неограниченном увеличений числа независимых испытаний в одних и тех же усло­виях частота наступления случайного события А сходится по вероятности к его вероятности Р, т. е.

, (2.2)

Согласно данной теореме, для получения вероятности какого-либо события, например вероятности состояний некоторой системы , , вычисляют частоты для одной реализации (испытания), далее проводят подобные вычисления для числа реализаций, равного n. Результаты усредняют и этим самым с не­которым приближением, получают искомые вероятности состоя­ний системы. На основании вычисленных вероятностей определя­ют другие характеристики системы. Следует отметить, что, чем больше число реализаций n, тем точнее результаты вычисления ис­комых величин (вероятностей состояний системы).

Решение любой задачи методом статистического моделирования состоит в:

- разработке и построении структурной схемы процесса, выявле­нии основных взаимосвязей;

- формальном описании процесса;

- моделировании случайных явлений (случайных событий, слу­чайных величин, случайных функций), сопровождающих функ­ционирование исследуемой системы;

- моделировании (с использованием данных, полученных на пре­дыдущем этапе) функционирования системы - воспроизведении процесса в соответствии с разработанной структурной схемой и формальным описанием;.

- накоплении результатов моделирования, их статистической об­работке, анализе и обобщении.

В отличие от описанных ранее математических моделей, ре­зультаты которых отражали устойчивое во времени поведение сис­темы, результаты, получаемые при статистическом моделировании, подвержены экспериментальным ошибкам. Это означает, что лю­бое утверждение, касающееся характеристик моделируемой систе­мы, должно основываться на результатах соответствующих статис­тических проверок.

Экспериментальные ошибки при статистическом моделирова­нии в значительной степени зависят от точности моделирования случайных явлений, сопровождающих функционирование исследуемой системы.

Известно, что при изучении вероятностных систем случайные явления могут интерпретироваться в виде случайных событий, слу­чайных величин и случайных функций. Следовательно, моделиро­вание случайных явлений сводится к моделированию случайных событий, случайных величин и случайных функций. Так как случайные события и случайные функции могут быть представлены через случайные величины, то и моделирование случайных собы­тий и случайных функций производится с помощью случайных ве­личин. В связи с этим рассмотрим сначала способы моделирования случайных величин.