Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

, (1.1)

где - интенсивность поступления заявок в систему

Плотность распределения длительностей обслуживания:

, (1.2)

где - интенсивность обслуживания

Потоки заявок и обслуживании простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 1.1), у которого имеются два состояния:

S ₀ - канал свободен (ожидание);

S ₁ - канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 1.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: P ₀(t) - вероятность состояния «канал свободен»; P ₁(t) - вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 1.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(1.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (1.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P ₀(t) + P ₁(t) = 1. Реше­ние данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

, (1.4)

P ₁(t) = 1 - P ₀(t) = 1. (1.5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P ₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P ₀ - вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следо­вательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P ₀(t), т. е.

q = P ₀(t), (1.6)

По истечении большого интервала времени (при ) дости­гается стационарный (установившийся) режим:

, (1.7)

Зная относительную пропускную способность, легко найти аб­солютную. Абсолютная пропускная способность (А) - среднее чис­ло заявок, которое может обслужить система массового обслужива­ния в единицу времени:

. (1.8)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероят­ности состояния «канал занят»:

. (1.9)

Данная величина P_отк может быть интерпретирована как сред­няя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример 1.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представля­ет собой один пост ежедневного обслуживания (ЕО) для мойки ав­томобилей. Заявка - автомобиль, прибывший в момент, когда пост занят, - получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока ав­томобилей = 1,0 (автомобиль в час). Средняя продолжительность обслуживания - 1,8 часа. Поток автомобилей и поток обслужива­нии являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

- относительной пропускной способности q;

- абсолютной пропускной способности А;

- вероятности отказа P_отк;

Сравните фактическую пропускную способность СМО с номи­нальной, которая была бы, если бы каждый автомобиль обслужи­вался точно 1,8 часа и автомобили следовали один за другим без перерыва.