Векторные диаграммы переменного тока

Как было установлено, гармонически изменяющееся напряжение в общем виде определяется выражением:

Зная амплитуду напряжения U_m и аргумент синусоидальной функции , можно с помощью несложных математических операций определить мгновенные значения напряжения u в любой момент времени. Наряду с аналитическим способом расчёта получить u можно графически, например, по временной диаграмме гармонической переменной (рис. 2.7).

Однако при различных расчётах бывает удобнее пользоваться методом векторных диаграмм. Применение векторных диаграмм при исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы и упрощать производимые расчёты.

=0

Рис. 2.7

Синусоидальный ток и напряжение можно представить как вектор, движущийся по окружности со скоростью . Мгновенные значения будут равны проекции этого вектора на ось Y.

Суть данного метода заключается в следующем: если какая-нибудь точка движется с постоянной скоростью по окружности, то её проекция на любой диаметр (горизонтальный- воображаемая ось Х или вертикальный- ось Y) совершает гармонические(синусоидальные колебания). Радиус-вектор (в дальнейшем для краткости будем называть просто вектор) этой точки вращается с постоянной угловой скоростью .

Рис. 2.8

Если этот вектор (рис. 2.8) в известном, произвольно выбранном масштабе изображающий амплитуду напряжения U_m (тока и ЭДС), занимает в начальный момент времени (t=0) горизонтальное положение, вправо от центра вращения 0 и вращается против часовой стрелки с угловой скоростью , то в произвольный момент времени t, когда он образует с горизонталью угол t, проекция его на вертикальную ось Y в том же масштабе покажет соответствующее мгновенное напряжение:

Если же вектор U_m в начальный момент расположен не горизонтально, а образует с осью абсцисс Х угол , то проекция на ось Y покажет мгновенное значение напряжения опережающее предыдущее на часть периода . Представим этот случай графически. Расположим под углом относительно положительной оси абсцисс вектора U_m, длина которого в заранее выбранном масштабе равна амплитуде изображаемой гармонической величины (рис. 2.9).

+ ΨU

Рис. 2.9

Положительные углы (начальные фазы напряжения , а так же только принято откладывать в направлении против часовой стрелки, а отрицательные () - по часовой стрелке (рис.2.9, показана положительная начальная фаза напряжения ).

Предположим, что вектор Ū_m, начиная с момента времени t=0, вращается вокруг начала координат против часовой стрелки с постоянной частотой вращения , равной угловой частоте изображаемого напряжения.

В момент времени t вектор Ū_m повернётся на угол t и будет расположен под углом по отношению к оси абсцисс X.

Проекция этого вектора на ось координат Y в выбранном масштабе равна мгновенному значению изображаемого напряжения .

Следовательно, величину, изменяющуюся гармонически во времени, можно изображать вращающимся вектором. При начальной фазе, равной нулю ( когда , вектор Ū_m для t=0. (рис. 2.8) расположен на оси абсцисс.

При больше или меньше 0 положение вектора для t=0 определяется знаком и величиной начальной фазы напряжения.

Обычно при расчёте цепи используются действующие ЭДС, напряжения и токи(или амплитуды этих величин), а так же их сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому рассматриваются неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирается так, чтобы диаграмма была наглядней. Такая диаграмма называется векторной. Иными словами векторная диаграмма является совокупностью векторов, изображающих движущиеся синусоидальные ЭДС, напряжения и токи или их амплитудные значения. Углы сдвига по фазе откладываются в направлении вращения векторов (против часовой стрелки), если они положительны (например, , и в обратном направлении, если они отрицательны (. Если, например, начальный фазовый угол ЭДС больше начального фазового угла (см. временную диаграмму на рис. 2.10), то соответственно сдвиг по фазе и этот угол откладывается в положительном направлении от вектора тока (рис. 2.10).

Мгновенные значения ЭДС и тока в начальный момент отсчета (для определяются проекциями амплитудных значений их векторов на ось ординат Y в заданном масштабе расчётных параметров e и i.

Рассмотрим сложение ЭДС, токов и напряжений на векторной диаграмме. При исследовании цепи переменного тока часто приходится складывать ЭДС, токи и напряжения одной и той же частоты.

Рис. 2.10

Предположим, что требуется сложить две ЭДС:

Такое сложение можно осуществить аналитически (путём математических вычислений) и графически с помощью векторных диаграмм. Последний способ более нагляден и прост. Две складываемые ЭДС е₁ и е₂ в определенном масштабе представлены векторами и (рис. 2.11)

= + e=e1+e2

Рис. 2.11

При вращении этих векторов с одинаковой частотой вращения, равной угловой частоте переменного тока , взаимное расположение вращающихся векторов относительно друг друга остаётся неизменным. Сумма проекций вращающихся векторов и на ось ординат (е₁ и е₂) равна проекции на ту же ось Y вектора , равного геометрической сумме векторов и :

Указанный способ сложения двух ЭДС универсален, его можно применить для сложения и вычитания любого числа ЭДС, напряжений и токов одной частоты. При этом операцию вычитания можно представить в виде сложения, проведя элементарные преобразования.

Например, , то есть уменьшаемая величина складывается с вычитаемой, взятой с обратным знаком.

На практике векторные диаграммы, как правило, строятся не для амплитудных значений переменных ЭДС, напряжений и токов, а для действующих величин E, U и I, пропорциональных амплитудных значениям , так как все расчёты цепей выполняются для действующих значений ЭДС, напряжений и токов.