Метод узловых напряжений

Общие правила расчета по этому методу состоят в следующем:

1) определяются напряжения между узлами сложной электрической цепи путем решения уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа;

2) полученные напряжения между узлами электрической цепи (узловые напряжения) алгебраически складываются с ЭДС каждой ветви цепи (если эти ЭДС имеются);

3) по закону Ома для участка цепи вычисляются токи в каждой ветви электрической цепи, используя полученные узловые напряжения и ЭДС источников питания.

Для пояснения сказанного рассмотрим применение данного метода для электрической цепи с двумя узлами А и В (рис. 1.23). При наличии n ветвей между точками А и В для вычисления токов в ветвях по методу контурных токов необходимо было бы составить n -1 уравнений. Применение же метода узловых напряжений позволяет ограничиться составлением и решением только одного уравнения для определения напряжения U_AB между узлами А и В. Токи в ветвях находятся по известным параметрам в соответствии с законом Ома.

Рис. 1.23

Будем считать положительными ЭДС, действующие от А к В, и соответственно токи, направленные от А к В.

Напряжение U_AB между узлами можно рассматривать как алгебраическую сумму ЭДС Е_k любой (k-й) ветви и потерь напряжения I_k r_k в резисторе с сопротивлением r_k этой ветви:

Отсюда ток в k-й ветви:

где – проводимость соответствующей ветви.

По первому закону Кирхгофа сумма всех токов n ветвей, сходящихся в узле A (или В), должна быть равна нулю:

Из этого равенства определяется искомое узловое напряжение

где слагаемые берутся со знаком плюс, если ЭДС действует от А к В, и со знаком минус при обратном направлении ЭДС. Для получения напряжения U_AB определяются токи ветвей по приведенному выражению для тока в k-й ветви.

Для цепи с тремя узлами можно составить два уравнения для определения напряжений между одним из узлов, принятым в качестве исходного, и двумя другими. Применение метода эффективно при наличии значительного числа ветвей, включенных между небольшим числом узлов электрической цепи.

Решение уравнений для исследования достаточно сложных цепей методом контурных токов, наложения и узловых напряжений целесообразно производить при помощи ЭВМ по разработанным алгоритмам. Приведенные уравнения в этом случае служат для автоматизированного решения задач, то есть для разработки программного обеспечения ЭВМ. Подобный подход автоматизированного расчета сложных электрических цепей исключает ошибки вычислений и обеспечивает решение поставленных задач.