Границы применимости закона Максвелла распределения молекул газа по скоростям

Задача о распределении молекул газа по скоростям, как она сформулирована и решена выше, является чисто классической. Необходимо выяснить границы применимости такого классического рассмотрения.

В квантовой механике показано, что поведение частиц можно описывать законами классической физики, если n l³ << 1, где l - длина волны де Бройля частицы (l = h / mv); n – плотность частиц. Для оценки порядка l воспользуемся среднеквадратичной скоростью молекул . Используя ее, имеем

.

Извлекая корень степени 3/2, имеем .

При более точном рассмотрении вместо этого соотношения получается неравенство

.

Величина

(*)

называется температурой вырождения. Cледовательно, классический закон Максвелла имеет место, если температура газа много больше температуры вырождения.

Вычислим температуру вырождения по формуле (*) для двух случаев. Для электронного газа в серебре n» 6×10²² см^-3, масса электрона m = 9,1×10^-31 Кл. Температура вырождения газа в серебре Т_g = 6,5×10⁴ К. Подобные значения получаются для всех других хорошо проводящих металлов. При таких высоких температурах ни один металл в твердом состоянии существовать не может. Следовательно, электронный газ в проводящем металле всегда находится в состоянии вырождения и распределение электронов проводимости по скоростям не подчиняется закону Максвелла. Это, разумеется, не означает, что в любом количестве электронов распределение Максвелла по скоростям не имеет место. Все определяется свойствами системы в целом. Так, например, в «электронном» облаке, образовавшемся около металла вследствие термоэлектронной эмиссии, электроны распределены по скоростям по закону Максвелла.

Теперь вычислим температуру вырождения для газообразного гелия. Масса атома гелия m = 6,6×10^-27 кг, концентрация при нормальных условиях n = 2,7×10²⁵ м^-3. Температура вырождения Т_g @ 0,5 К. У всех остальных газов масса атома еще больше (кроме водорода), а Т_g еще меньше. Следовательно, все молекулярные газы достаточно далеки от вырождения и закон распределения Максвелла молекул газа по скоростям для них имеет место.