Определение. Свойства

Определение. Линейный оператор j: Н ® Н на унитарном пространстве Н называется унитарным, если

(j х, j у) = (х, у) " х, у Î Н.

Утверждение 1. Если j - унитарный оператор, то j - невырожденный.

Доказательство. Если хÎ Ker j, то (j х, j х) = (х, х) = 0 Þ х = 0 Þ Ker j = 0.

Утверждение 2. Если j - унитарный оператор, то

j ^-1 - унитарный оператор.

Доказательство. Пусть j ^-1х = а, j ^-1у = b. Тогда (а, b) = = (j a, j b) = (x, y) Þ (x, y)= (а, b) = (j ^-1х, j ^-1у).

Следовательно, унитарный оператор – это автоморфизм унитарного пространства Н (изоморфизм Н на себя).

Теорема 1. Для унитарного оператора j: Нⁿ ® Нⁿ эк­вивалентны следующие 14 условий:

1. (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Нⁿ.

2. (j е_s, j e_t) = (е_s, e_t) " s, t " (для некоторого) базиса

е = {е₁,..,e_n} в Нⁿ.

3. (j u_s ,j u_t) = (u_s, u_t) = d_st " s, t " (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и₁,..,и_n} в Нⁿ.

4. {j u₁ ,…,j u_n } – ортонормированный базис.

5. = = g_s,t, где g_i,j = (е_i, e_j) –

элементы матрицы Грама, а (a_i,j) = [ ].

6. = d_s,t , где (b_s,t) = [ ].

7. [ ] ^t = .

8. [ ] ^t = Е и ^t [ ] = Е.

9. [ ] ^-1 = ^t.

10. [ ] ^t = Е.

11. = d_s,t.

12. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в C ⁿ.

13. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным базисом в пространстве столбцов C _п.

14. [ ] ^t – матрица унитарного оператора.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1 из п.19.1.

Упражнение. Доказать теорему 1.

Следствие. Если j - унитарный оператор, то |det j | = 1, то есть detj - комплексное число, у которого модуль равен 1.

Доказательство. Так как [ ] ^Т = Е, то detj× =

= detЕ = 1 Þ |det j | ² = 1 Þ |det j | = 1.