Структура самосопряженного оператора

Лемма. Пусть j: Е^п® Е^п - самосопряженный оператор, Е^пÉ L - j- инвариантное подпространство. Тогда L ^{^} - j- инва- риантное подпространство.

Доказательство. " хÎ L, y Î L ^{^} (j x, y) = 0 = (x,j y) Þ j(L ^{^} ) ^ L Þ j(L ^{^} )Í L ^{^}.

ÿ

Пусть j: Е^п ® Е^п - самосопряженный оператор. По теореме из п. 16.7 в Е^п $ L₁ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2. Тогда по лемме L₁ ^{^} - j- инвариантное подпространство, и Е^п = L₁ Å L₁ ^{^}. Так как j на L₁ ^{^} - самосопряженный оператор, то в L₁ ^{^} $ L₂ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и ортогональное дополнение L¢ к L₂ в L₁ ^{^} также j- инвариантно. Далее,

Е^п = L₁ Å L₂ Å L¢, и в L¢ $ L₃ - j- инвариантное подпространство размерности 1 или 2, и так далее. В конце концов, мы получим разложение Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_q, где все L_i – подпространства размерности 1 или 2, j- инвариантны и попарно ортогональны.

Если L – евклидово пространство размерности 2,

L = <и₁, и₂>, где {и₁, и₂} – ортонормированный базис в L, и

j: L ® L - самосопряженный оператор, то [ ] = , и характеристический многочлен c_j(t)= t²- (a+c)t + ac - b². Его дискриминант (а+с)² – 4(ас - b²) = (а – с)² + b² ³ 0 Þ в L $ собственный вектор, $ одномерное j- инвариантное подпространство Þ L – прямая сумма двух одномерных попарно ортогональных j- инвариантных подпространств.

Следовательно, в разложении Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_q можно считать, что все L_i – подпространства размерности 1, попарно ортогональны и j- инвариантны. Значит, n = q, и

Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_п .

Если L – евклидово пространство размерности 1, L = <e>, и j: L® L - самосопряженный оператор, то j е = a е, aÎ R.

В разложении Е^п = L₁ Å L₂ Å…Å L_n выберем в каждом L_i

единичный вектор и_i. Объединение и этих векторов является ортонормированным базисом в Е^п. В этом базисе матрица самосопряженного оператора j имеет вид:

[ ] = diag(a₁,a₂,…,a_n). Таким образом, нами доказана структурная

Теорема. Для любого самосопряженного оператора

j: Е^п ® Е^п $ ортонормированный базис и евклидова пространства, в котором матрица j имеет вид:

[ ] = diag(a₁,a₂,…,a_n), где все a_sÎ R. Наоборот, если

[ ] = diag(a₁,…,a_n), где все a_sÎ R, то j - самосопряженный.

На языке матриц теорему можно сформулировать так:

Для любой симметричной матрицы А $ ортогональная матрица Т (матрица перехода к новому ортонормированному базису) такая, что матрица Т ^-1АТ = diag(a₁,a₂,…,a_n), где все a_sÎ R.

Лекция 32.