Сопряженные линейные операторы

Пусть j: Е^п ® Е^п - линейный оператор. Рассмотрим функцию f(x) = (a, j x).

Упражнение. Проверить, что f – линейная функция, то

есть f Î (Е^п)*, и следовательно, f = f_b при некотором bÎ Е^п.

Будем считать, что b = j*a, где j*: Е^п ® Е^п - некоторое отображение. Из определения j* получаем, что

(a, j x) = (b, x) = (j*a, x) или (j x, а) = (х, j*a).

Утверждение. j*: Е^п ® Е^п – линейный оператор.

Доказательство. (х, j*(a+b)) = (j x, a+b) = (j x, a) +

+ (j x, b) = (х, j*a) + (х, j*b) = (х, j*a + j*b) Þ j*(a+b) =

= j*a+j*b (см. утверждение из п. 20.1). Аналогично,

(х, j*(aa)) = (j x, aa) = a(j x, a)= a (х, j*a) = (х, aj*a) Þ

j*(aa) = aj*a. ÿ

Определение. Линейный оператор j*: Е^п ® Е^п называется сопряженным к линейному оператору j.

Очевидно, j** = j, так как (j х, у) = (х, j*у) = (j**х, у).

Заметим, что при отождествлении Ф: а «f_a получаем:

(a, j x) = (j*a, x), то есть f_a(j x) = j*(f_a)(x) Þ j*(f_a)= f_a◦j.

Теорема. Для линейных операторов j и y на Е^п эквивалентны следующие 5 условий (и при выполнении любого из этих условий y = j*, j = y*):

1. (j x, у) = (х, yу) " х, у Î Е^п.

2. (j е_i,е_j)= (е_i,y е_j) " i, j " (для некоторого) базиса е в Е^п.

3. (j и_i,и_j)= (и_i,y и_j) " i, j " (для некоторого) ортонормированного базиса и в Е^п.

4. [ ] ^t × = × [ ], или же [ ] = ^-1× [ ] ^t × , где - матрица Грама для базиса е. (Доказать, что Г^-1 $ - см. также п.24.3).

5. [ ] = [ ] ^t.

Доказательство. Очевидно, из 1 Þ 2 (как частный случай), из 2 Þ 1 ввиду линейности j и скалярного произведения. Аналогично, 1 Û 3. Проверим, что 2 Û 4. В самом деле, если [ ] = (а_ks), [ ] = (b_ks), то (j е_i,е_j) = (,е_j) = = = ( [ ] ^t × )_ij – (i,j)- й элемент матрицы [ ] ^t × . А (е_i,y е_j)= (е_i, ) = = ( × [ ] )_ij – (i,j)- й элемент матрицы × [ ]. Отсюда 2 Û 4. Аналогично проверяется, что 3 Û 5. ÿ