Определение. Свойства. Определение. Линейный оператор j : Е ® Е называется ортогональным, если (j х, j у) = (х, у) х

Определение. Линейный оператор j: Е ® Е называется ортогональным, если (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Е.

Утверждение 1. Если j - ортогональный оператор, то j -

невырожденный.

Доказательство. Если хÎ Ker j, то (jх, jх) = (х, х) = 0 Þ х = 0 Þ Ker j = 0.

Утверждение 2. Если j - ортогональный оператор, то

j ^-1 - ортогональный оператор.

Доказательство. Пусть j ^-1х = а, j ^-1у = b. Тогда (а, b) = = (ja, jb) = (x, y) Þ (x, y)= (а, b) = (j ^-1х, j ^-1у).

Таким образом, ортогональный линейный оператор – это автоморфизм евклидова пространства Е (изоморфизм Е

на себя).

Теорема 1. Для ортогонального оператора j: Еⁿ ® Еⁿ эк­вивалентны следующие 15 условий:

1. (j х, j у) = (х, у) " х, у Î Еⁿ.

2. (j х, j х) = (х, х) (то есть | jх | = | х |) " хÎ Еⁿ.

3. (j е_s, j e_t) = (е_s, e_t) " s, t " (для некоторого) базиса

е = {е₁,..,e_n} в Еⁿ.

4. (j u_s ,j u_t) = (u_s, u_t) = d_st " s, t " (для некоторого)

ортонормированного базиса и = {и₁,..,и_n} в Еⁿ.

5. {j u₁ ,…,j u_n } – ортонормированный базис.

6. = = g_s,t, где g_i,j = (е_i, e_j) –

элементы матрицы Грама, а (a_i,j) = [ ].

7. = d_s,t , где (b_i,j) = [ ].

8. [ ] ^t [ ] = .

9. [ ] ^t [ ] = Е.

10. [ ] ^t = [ ] ^-1.

11. [ ][ ] ^t = Е.

12. = d_s,t.

13. Строки матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в R ⁿ.

14. Столбцы матрицы [ ] являются ортонормированным

базисом в пространстве столбцов R _п.

15. [ ] ^t – матрица ортогонального оператора.

Доказательство. Очевидно, из 1 Þ 2,3,4 (как частные

случаи), 6 Û 8, 7 Û 9 Û 10 Û 11 Û 12 Û 13 Û 15, 4 Û 5 Û 7 Û 14.

Из 2 Þ 1, так как 2(jх,jу)=(jх+jу,jх+jу) - (jх,jx) - (jy,jy)= = |j(х+у)|² - | jх |² - | jy |² =| х+у |² - | х |² - | y |² = 2(х, у).

Из 3 Þ 1, так как (jх, jу) = (j(), j( )) =

= = = (, )= (х, у).

Так же проверяется, что из 4 Þ 1.

И наконец, 3 Û 6, так как (jе_s, je_t) = (, )=

= = .

ÿ

Следствие. Если j - ортогональный оператор, то

det j = ±1.

Доказательство. [ ] ^t [ ] = Е Þ det ( [ ] ^t [ ] ) =

= det [ ] ^t× det [ ] = (det [ ] )² = det Е = 1.

Определение. Матрица А называется ортогональной, если А - матрица некоторого ортогонального оператора в ортонормированном базисе, то есть, если для неё выполняется одно из эквивалентных условий Теоремы 1 под номерами 7, 9, 10, 11, 12, 13 или 14.