Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Доказательство. 1. Докажем существование разложения





1. Докажем существование разложения. Пусть

w(х)= , и g(x) = p1(x) … pr(x) - разложение на простые множители, pi(x) ≠ pj(x) при i ≠ j, и h(x) = p2(x) … pr(x) . Тогда w(х)= . Вычтем из w(х) простейшую дробь с неопределенным пока числителем f1(x):

w(х) - = . Покажем теперь, что можно подобрать f1(x) так, чтобы числитель f(x) – f1(x)h(x) делился на р1(х). В самом деле, так как h(x) и p1(x) – взаимно простые, то по утверждению 1 из 10.4 существуют многочлены u(x) и v(x) такие, что h(x)u(x) + p1(x)v(x)= 1. После умножения этого равенства на f слева и справа получим f = fuh + p1vf. В качестве f1 можно было бы взять fu, но мы не знаем, будет ли ст.fи < ст.р1. В случае, когда ст.fи ³ ст.р1, разделим

fu на р1 с остатком: fи = qр1+ r1, ст.r1< ст.р1. Тогда

f = fuh+ p1vf = (qр1+r1)h + p1vf = r1h+ p1(qh+ vf)= r1h+ p1 , и можно взять f1 = r1. Теперь f(x) – f1(x)h(x) делится на р1(х), и ст.f1<ст.р1. Таким образом, w(х)= + = = + . Далее такую же процедуру можно проделать с дробью или считать, что для неё утверждение выполнено по предположению индукции. Отсюда следует существование разложения рациональной функции на простейшие дроби.

2. Докажем единственность разложения. Пусть

w(х)= = F(x)+ = F(x)+ Þ f = Fg + R, и ст.R < ст.g. Из однозначности деления с остатком получаем, что F и R определяются однозначно. Пусть теперь = - два разложения на простейшие дроби. Тогда = = 0, где f¢¢ij = fij - f¢ij.

Если , ¹ 0, - простейшая дробь в нашем разложении с наивысшей степенью многочлена р1 в знаменателе, то общим знаменателем для суммы будет , где h на р1 не делится. Умножим равенство = 0 на общий знаменатель. Получим: +сумма всех остальных слагаемых, содержащих множитель р1, = 0, то есть + р1Н = 0. Но и h не делятся на р1. Мы получили противоречие. Отсюда следует единственность разложения на простейшие дроби.

ÿ

Лекция 24.

Date: 2015-09-25; view: 325; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию