Основная теорема алгебры

Определение. Поле K называется алгебраически замкнутым, если " f(x) Î K[x], ст.f > 0, $ a Î K такой, что f(a)= 0.

Основная теорема алгебры. Поле комплексных чисел С алгебраически замкнуто.

Доказательство см., например, в §23 Курса высшей алгебры А.Г. Куроша.

Следствие. Если f(x)Î C [x], ст. f(x)= п > 0, то $ с₁Î С такой, что f(с₁)= 0, и по теореме Безу f(х)= (х – с₁)g(x). Далее если ст.g(x)> 0, то $ с₂Î С такой, что g(с₂)= 0, и

g(х)= (х – с₂)h(x) Þ f(х)= (х – с₁)(х – с₂)h(x) и т.д. В конце концов мы получим, что f(х) = (х – с₁)(х – с₂)…(х – с_п)×а, где а= а_п - коэффициент при старшей степени х многочлена f. Следовательно, любой многочлен в C [x] степени п имеет п корней (с учетом кратностей) и раскладывается в произведение п множителей 1-й степени.

10.9. Формулы Виета. Пусть f(x) = х ^п + а_п-1х ^п-1+…+ а₀ – многочлен из P [x], ст.f(x) = n, и с₁, с₂,…,с_п – корни многочлена f(x) (такая ситуация будет иметь место всегда, если поле Р алгебраически замкнуто). Тогда

f(x) = (х – с₁)(х – с₂)…(х – с_п). Раскрывая скобки в правой части и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получим, что а_п-1 = – с₁ – с₂ –…– с_п = - s₁,

а_п-2 = = s₂, а_п-3= - = -s₃,…, а₀ = (-1)^пс₁с₂…с_п = =(-1)^пs_п, где s₁= с₁+ с₂+…+ с_п, s₂= , s₃ = ,…, s_п = с₁с₂…с_п - так называемые элементарные симметрические многочлены от с₁, с₂,…, с_п. Полученные формулы называются формулами Виета.